Uma bomba hidráulica é movida por um motor elétrico que gira a 1500 rpm e a pressão na saída da bomba é 140 bar. O deslocamento da bomba é 50 \mathrm{~cm}^{3}. A vazão medida é 65 l / \min e a potência medida no eixo do motor é 20 kW . A pressão de aspiração da bomba é 0 bar. Com os dados acima, ache:
(a) A eficiência volumétrica da bomba.
(b) A eficiência hidromecânica da bomba.
(c) A eficiência total da bomba.

Passo 1

O enunciado pede três eficiências da bomba hidráulica e fornece os seguintes dados:
\begin{aligned} &\text{velocidade do motor: }1500\\ \text{rpm},\\\ &\text{pressão de saída (queda de pressão útil): }140\\ \text{bar},\\\ &\text{deslocamento da bomba por rotação: }50\\ \text{cm}^3,\\\ &\text{vazão medida (real): }65\\ \text{L/min},\\\ &\text{potência no eixo do motor (entrada): }20\\ \text{kW},\\\ &\text{pressão de aspiração: }0\\ \text{bar}. \end{aligned}ãíãúçããêãçã
As perguntas são:
(a) calcular a eficiência volumétrica da bomba;
(b) calcular a eficiência hidromecânica (mecânica/hidráulica) da bomba;
(c) calcular a eficiência total da bomba.

Passo 2

Vamos calcular a vazão teórica (ideal) da bomba sem vazamentos, a partir do deslocamento por rotação e da velocidade:
o deslocamento é 50\\ \text{cm}^3/\text{rev}. Convertemos para litros por minuto de forma direta usando 1\\ \text{L}=1000\\ \text{cm}^3:
\text{vazão teórica }Q_{\text{th}} = 50\\ \frac{\text{cm}^3}{\text{rev}}\times1500\\ \frac{\text{rev}}{\text{min}} =75000\\ \frac{\text{cm}^3}{\text{min}}=75\\ \frac{\text{L}}{\text{min}}.ãó

Passo 3

Definição e cálculo da eficiência volumétrica: a eficiência volumétrica \eta_v mede quanto da vazão teórica sai realmente da bomba, ou seja
\eta_v=\frac{Q_{\text{real}}}{Q_{\text{th}}}.
Substituindo Q_{\text{real}}=65\\ \text{L/min} e Q_{\text{th}}=75\\ \text{L/min}:
\eta_v=\frac{65}{75}=0,866\overline{6}=86{,}67\%.
Interpretação breve: essa perda decorre de vazamentos internos e compressibilidade; a pressão de aspiração dada (0 bar) é apenas a condição de sucção, mas a fórmula acima não muda.

Passo 4

Vamos calcular a potência hidráulica teórica que seria entregue ao fluido se não houvesse perdas mecânicas, usando a vazão teórica e a pressão. Primeiro convertendo pressão e vazão para unidades SI:
140\\ \text{bar}=140\times10^5\\ \text{Pa}=14\times10^6\\ \text{Pa}.
Q_{\text{th}}=75\\ \frac{\text{L}}{\text{min}}=75\times10^{-3}\\ \frac{\text{m}^3}{\text{min}}=\frac{0{,}075}{60}\\ \frac{\text{m}^3}{\text{s}}=0{,}00125\\ \frac{\text{m}^3}{\text{s}}.
Potência hidráulica teórica:
P_{\text{th}}=\Delta p\cdot Q_{\text{th}}=14\times10^{6}\\ \text{Pa}\times0{,}00125\\ \frac{\text{m}^3}{\text{s}}=17500\\ \text{W}=17{,}5\\ \text{kW}.

Passo 5

Definição e cálculo da eficiência hidromecânica \eta_{hm}: vamos usar a decomposição habitual
\eta_{\text{total}}=\eta_v\cdot\eta_{hm},
onde \eta_{hm} representa as perdas mecânicas/hidráulicas internas (atrito, perdas por conversão de energia), e pode ser expressa como a razão entre a potência hidráulica teórica P_{\text{th}} (que seria necessária sem perdas mecânicas) e a potência de eixo disponível P_{\text{in}}:
\eta_{hm}=\frac{P_{\text{th}}}{P_{\text{in}}}.
Substituindo P_{\text{th}}=17{,}5\\ \text{kW} e P_{\text{in}}=20\\ \text{kW}:
\eta_{hm}=\frac{17{,}5}{20}=0{,}875=87{,}50\%.
Explicação curta: pense assim — se não houvesse vazamentos a bomba precisaria de 17{,}5\\ \text{kW}; como o eixo fornece 20\\ \text{kW}, a diferença é dissipada por atrito e outras perdas mecânicas, daí a eficiência hidromecânica.

Passo 6

Cálculo da potência hidráulica real (útil) usando a vazão medida Q_{\text{real}}:
Q_{\text{real}}=65\\ \frac{\text{L}}{\text{min}}=65\times10^{-3}\\ \frac{\text{m}^3}{\text{min}}=\frac{0{,}065}{60}\\ \frac{\text{m}^3}{\text{s}}=0{,}00108333\ldots\\ \frac{\text{m}^3}{\text{s}}.
P_{\text{hidráulica}}=\Delta p\cdot Q_{\text{real}}=14\times10^{6}\\ \text{Pa}\times0{,}00108333\ldots\\ \frac{\text{m}^3}{\text{s}}=15166{,}666\ldots\\ \text{W}=15{,}1667\\ \text{kW}.á

Passo 7

Cálculo da eficiência total \eta_{\text{total}} como razão entre potência hidráulica real e potência de eixo:
\eta_{\text{total}}=\frac{P_{\text{hidráulica}}}{P_{\text{in}}}=\frac{15{,}1667}{20}=0{,}758333\ldots=75{,}83\%.á
Verificação via decomposição:
\eta_v\cdot\eta_{hm}=0{,}866\overline{6}\times0{,}875=0{,}75833\ldots=75{,}83\%,
confirmação consistente.

Resposta

(a) \eta_v=86{,}67\%
(b) \eta_{hm}=87{,}50\%
(c) \eta_{\text{total}}=75{,}83\%

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