(12 Pontos) O estudo dos fenômenos de transporte é essencial para compreender os processos de transferência de quantidade de movimento, calor e massa. Um dos princípios fundamentais é a analogia entre esses fenômenos, que possibilita uma abordagem unificada para modelar e resolver problemas práticos em engenharia e ciências aplicadas.
Com base no conceito de analogia, responda às seguintes questões:
(A) Explique como os fenômenos de transporte de quantidade de movimento, calor e massa são análogos entre si. Discuta as equações gerais que regem esses processos, mencionando os parâmetros e variáveis envolvidos.
(B) Considere o transporte de quantidade de movimento em um fluido incompressível. Apresente a equação do movimento (ou equação de Navier-Stokes) para o caso de escoamento laminar e unidimensional em coordenadas cartesianas. Identifique o significado físico de cada termo da equação.
(C) Compare os termos presentes na equação do movimento com as equações da transferência de calor e massa. Explique quais características mantêm a analogia entre os fenômenos e quais limitações podem surgir.
(D) Proponha e resolva um exemplo utilizando a Navier-Stokes
Passo 1
O enunciado pede quatro coisas (A)-(D). Vou listar claramente cada pergunta e os dados/condições que temos:
A) Explicar como os fenômenos de transporte de quantidade de movimento, calor e massa são análogos. Mencionar as equações gerais que regem esses processos e quais parâmetros/variáveis aparecem.
B) Apresentar a equação do movimento (Navier–Stokes) para transporte de quantidade de movimento em um fluido incompressível, no caso de escoamento laminar e unidimensional em coordenadas cartesianas, e identificar fisicamente cada termo.
C) Comparar os termos da equação do movimento com as equações de transferência de calor e massa, apontando o que mantém a analogia e quais limitações existem.
D) Propor e resolver um exemplo usando Navier–Stokes.
Não há figura nem valores numéricos obrigatórios no enunciado; então no exemplo (D) vou propor um problema clássico e completamente resolvível analiticamente: escoamento laminar e estacionário entre duas placas paralelas (fluxo de Poiseuille bidimensional, com placa inferior em y=0 e superior em y=H, placas estacionárias, pressão variando apenas em x). Esses são os dados que vou usar no exemplo.
Passo 2
Conceito de analogia e equações gerais — explicação didática passo a passo.
Ideia central da analogia (em palavras simples):
Todos os três processos (quantidade de movimento, calor, massa) envolvem transporte causado por “gradientes”: gradiente de velocidade gera transporte de momentum (forças de cisalhamento), gradiente de temperatura gera fluxo de calor, gradiente de concentração gera fluxo de massa.
Matematicamente, em muitos casos esses fluxos aparecem como um termo difusivo (proporcional ao gradiente) e, quando há escoamento, aparece também transporte por convecção (levado pelo próprio movimento do fluido). Assim as equações têm formas muito parecidas: termo transiente, termo convectivo, termo difusivo e termos de fonte.
Leis constitutivas (as leis que ligam fluxo ao gradiente) — muito importantes porque são o ponto de partida da analogia:
Lei de Newton para viscosidade (momentum): o estresse de cisalhamento é proporcional ao gradiente de velocidade. Em forma tensorial simplificada,
\text{fluxo de momentum (por unidade de área)} \sim \mu \nabla \mathbf{u}
onde \mu é a viscosidade dinâmica e \mathbf{u} é o campo de velocidade. Para 1D, a componente de tensão é \tau = \mu \,\partial u/\partial y.
Lei de Fourier (calor): o fluxo de calor por condução é proporcional ao gradiente de temperatura,
\mathbf{q} = -k \nabla T,
onde k é a condutividade térmica e T é a temperatura.
Lei de Fick (massa): o fluxo difusivo de uma espécie é proporcional ao gradiente de concentração,
\mathbf{J} = -D \nabla C,
onde D é o coeficiente de difusão e C é a concentração.
Equações de conservação (formas gerais) — aqui entram os termos que aparecem em PDEs: transiente, convecção, difusão e fonte.
Conservação de quantidade de movimento (forma geral incompressível):
\mathbf{u}: vetor velocidade (magnitude e direção do escoamento).
\partial \mathbf{u}/\partial t: variação temporal local da velocidade (aceleração local).
\mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u}: termo convectivo (aceleração advectiva) — a velocidade transporta variações de velocidade.
-\nabla p: gradiente de pressão (força por unidade de volume causada por diferenças de pressão).
\mu \nabla^2 \mathbf{u}: termo viscoso (difusão de momento), com \mu viscosidade dinâmica; \nabla^2 é o laplaciano, que combina segundas derivadas espaciais.
\rho\mathbf{g}: força de corpo (ex.: gravidade).
Conservação de energia (equação de transporte de calor, forma convectiva-difusiva):
\rho c_p\left(\frac{\partial T}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla T\right) = k \nabla^2 T + \dot{q}'''.
Explicação:
c_p: capacidade térmica (calor por massa e grau).
\rho c_p \partial T/\partial t: termo transiente de energia.
\rho c_p \mathbf{u}\cdot\nabla T: convecção de energia pelo escoamento.
k \nabla^2 T: condução térmica (difusão de temperatura) segundo Fourier.
\dot{q}''': geração volumétrica de calor (fonte).
Conservação de massa de uma espécie (equação de transporte de massa, convectiva-difusiva):
\frac{\partial C}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla C = D \nabla^2 C + S,
onde C é a concentração, D difusividade molecular e S termo fonte (produção/consumo químico).
Observações didáticas sobre as constantes difusivas:
A difusão de momentum é governada por \nu = \mu/\rho (viscosidade cinemática) que tem dimensões de [L^2/T], mesma dimensão que \alpha = k/(\rho c_p) (difusividade térmica) e que D (difusividade de massa). Essa igualdade dimensional é a razão física da analogia; apenas os valores (ordem de grandeza) e interpretações físicas mudam.
Passo 3
Equação de movimento incompressível (Navier–Stokes) e sua simplificação para escoamento laminar, unidimensional em coordenadas cartesianas — derivação passo a passo e significado físico de cada termo.
Escrevo a equação generalizada novamente para referência:
Cada termo já foi explicado no passo anterior. Em palavras curtas:
LHS (lado esquerdo): termos de inércia/aceleração (local + convectiva).
RHS: forças por unidade de volume — pressão, viscosidade (difusão de momento), forças de corpo.
Assumimos agora condições para simplificar (essas são suposições típicas em provas e em problemas elementares):
Fluido incompressível e de densidade constante \rho= const.
Escoamento laminar (não turbulento).
Escoamento unidimensional e estacionário: a velocidade tem apenas uma componente significativa u=u(y) na direção x; \partial/\partial t=0.
Escoamento completamente desenvolvido em x: \partial u/\partial x=0 (o perfil não muda ao longo do eixo x).
Não há variação de pressão na direção y: \partial p/\partial y=0.
Geometria plana (cartesiana) com coordenadas x (direção do escoamento) e y (normal às placas).
Com essas suposições, o termo convectivo \mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u} fica nulo porque u depende apenas de y e não há componente v em y que transporte u. Formalmente, para \mathbf{u}=(u(y),0,0),
A equação de Navier–Stokes na direção x reduz então para (pulando termos nulos):
0 = -\frac{d p}{d x} + \mu \frac{d^2 u}{d y^2},
ou reorganizando,
\mu \frac{d^2 u}{d y^2} = \frac{d p}{d x}.
Interpretação física de cada termo nesta forma unidimensional:
\mu \, d^2u/dy^2: difusão de momentum (viscous diffusion). É a taxa com que o cisalhamento (variação de u com y) gera uma força viscosa que age sobre o fluido. Matematicamente é a segunda derivada da velocidade: quando a curvatura do perfil é grande, há uma força viscosa maior.
d p/d x: gradiente de pressão (força motriz que empurra o fluido). Um dp/dx<0 empurra o fluido para o lado positivo de x.
O fato de não haver termos de inércia significa que o equilíbrio local é entre a força de pressão e a difusão viscosa — típico de escoamentos de baixa Reynolds ou de escoamento completamente desenvolvido.
Passo 4
Comparação entre os termos da equação do movimento e as equações de calor e massa — quais características mantêm a analogia e quais são as limitações.
Estrutura comum (o que mantém a analogia):
Todas as equações têm a mesma “arquitetura” matemática: termo transiente \leftrightarrow termo convectivo \leftrightarrow termo difusivo \leftrightarrow fontes. Em forma genérica:
Existência de leis constitutivas lineares: Newton/Fourier/Fick ligam fluxo ao gradiente (primeira derivada). Isso leva ao termo laplaciano (segunda derivada) nas equações de conservação.
As constantes \nu=\mu/\rho, \alpha=k/(\rho c_p) e D têm a mesma dimensão e interpretam “velocidade de difusão” de cada quantidade. Por isso dimensões adimensionais como número de Prandtl \mathrm{Pr}=\nu/\alpha e número de Schmidt \mathrm{Sc}=\nu/D aparecem para caracterizar analogias.
Diferenças importantes e limitações (o que quebra a analogia em geral):
Não linearidade do termo convectivo no momentum: \mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u} é não linear em \mathbf{u}. Nas equações escalares de calor e massa o termo convectivo \mathbf{u}\cdot\nabla T ou \mathbf{u}\cdot\nabla C é linear no campo escalar (T ou C) — portanto a equação de momento é vetorial e não linear enquanto as equações escalar são lineares em regime de propriedades constantes. Isso torna o comportamento do momentum muito mais complexo (ex.: transição para turbulência).
Natureza vetorial vs escalar: \mathbf{u} é um vetor (com pressão atuando como lagrangeano para preservação de incompressibilidade), enquanto T e C são escalares. Pressão não tem análogo direto em transporte de calor e massa; ela impõe condições incompressíveis e acopla componentes de \mathbf{u}.
Condições de contorno diferentes: para momentum geralmente impomos condições de velocidade (no-slip) na parede; para calor impomos temperatura ou fluxo de calor; isso altera soluções e interpretações físicas.
Efeitos de corpo (gravidade) afetam momentum diretamente (\rho \mathbf{g}), enquanto em calor ou massa só aparecem se houver fonte/efeito específico (como geração de calor por reação).
Propriedades variáveis e efeitos não-lineares: se \mu, k, D dependem de T ou C, a linearidade se perde e a analogia direta se complica.
Em regimes turbulentos a difusividade molecular perde importância e surgem coeficientes de transporte turbulento (viscosidade/condutividade/difusividade turbulenta), sendo possível manter uma analogia empírica, mas não uma igualdade exata.
Quando a analogia é particularmente útil:
Em escoamentos laminares ou regimes onde o termo convectivo (não linear) é negligenciável, as equações tornam-se lineares e as soluções analíticas para um problema escalar (como calor por condução) podem ser reaproveitadas para momentum, trocando constantes (\mu ↔ k, etc.).
Uso de números adimensionais (Re, Pr, Sc) permite avaliar dominância entre convecção e difusão e decidir se a analogia prática (por exemplo, Reynolds baixo, Pr≈1) é válida.
Passo 5
Proposição do exemplo (D): escoamento de Poiseuille entre placas paralelas (exemplo clássico, resolvível por integração simples).
Definição do problema:
Geometria: placas infinitas nos eixos x e z, separadas em y por uma distância H. Placa inferior em y=0, placa superior em y=H.
Condições: placas fixas (no-slip), fluxo estacionário e completamente desenvolvido em x, pressão varia apenas em x com gradiente constante \frac{d p}{d x}= constante. Não há forças de corpo. Escoamento unidirecional: \mathbf{u}=(u(y),0,0).
Objetivo: determinar u(y), velocidade máxima, vazão por unidade de largura Q' e esforço de cisalhamento na parede \tau_w.
Usarei a equação simplificada do Passo 3:
\mu \frac{d^2 u}{d y^2} = \frac{d p}{d x}.
Passo 6
Resolução do exemplo passo a passo (integrações, determinação das constantes e interpretação).
Escrever a ODE:
\mu \frac{d^2 u}{d y^2} = \frac{d p}{d x},
onde \dfrac{d p}{d x} é uma constante (chamo-a de G para facilitar), isto é G=\dfrac{d p}{d x}. Observação física: normalmente G<0 para um gradiente que empurra o fluido no sentido positivo x.
Integração primeira (integração em y) — integro a segunda derivada:
\mu \frac{d u}{d y} = G y + C_1,
onde C_1 é constante de integração.
Integração segunda:
\mu u(y) = \frac{G}{2} y^2 + C_1 y + C_2,
ou isolando u(y),
u(y) = \frac{G}{2\mu} y^2 + \frac{C_1}{\mu} y + \frac{C_2}{\mu}.
Aplicar condições de contorno no-slip: u(0)=0 e u(H)=0.
Em y=0: u(0)=0 dá \frac{C_2}{\mu}=0 \Rightarrow C_2=0.
Em y=H: u(H)=0 dá
0 = \frac{G}{2\mu} H^2 + \frac{C_1}{\mu} H,
multiplicando por \mu,
0 = \frac{G}{2} H^2 + C_1 H \Rightarrow C_1 = -\frac{G}{2} H.
Substituir C_1 e C_2 em u(y):
u(y) = \frac{G}{2\mu} y^2 - \frac{G}{2\mu} H y = \frac{G}{2\mu} \bigl(y^2 - H y\bigr).
Podemos reescrever de forma mais simétrica:
u(y) = \frac{1}{2\mu}\frac{d p}{d x}\, y(y-H).
Comentário físico: como d p/d x<0 num escoamento conduzido por pressão, o produto y(y-H) é negativo para 0<y<H, e com o sinal de dp/dx negativo a velocidade é positiva. Em termos práticos, o perfil é parabólico e máximo no meio entre as placas.
Velocidade máxima u_{\max}:
Encontro u_{\max} no ponto central y=H/2 (por simetria). Substituindo:
Comentário: \tau_w tem sinal tal que equilibra a força de pressão; para \dfrac{d p}{d x}<0, obtemos \tau_w>0.
Passo 7
Relacionando o exemplo com a analogia calor/massa — como seria o problema análogo e como transformar resultados.
Problema análogo de condução (calor): suponha uma barra plana de espessura H com temperatura fixa T(0)=T(H)=0 e geração volumétrica de calor constante q''' = -\dfrac{d p}{d x} (apenas um mapeamento formal). A equação de condução em regime estacionário 1D com geração é:
k \frac{d^2 T}{d y^2} = -q'''.
Comparando com a equação de momentum usada:
\mu \frac{d^2 u}{d y^2} = \frac{d p}{d x},
vemos que as equações têm a mesma forma se identificarmos k \leftrightarrow \mu e -q''' \leftrightarrow \dfrac{d p}{d x}. Assim a solução para T(y) será análoga à forma de u(y) (parabólica), e todos os passos de integração são idênticos. Essa é a essência da analogia: trocar constantes físicas e variáveis e reaplicar a solução.
Observação prática: o mapeamento é formal — fisicamente dp/dx não é geração de calor, mas matematicamente as equações correspondem. Em problemas reais que combinam escoamento e transferência térmica (convecção de calor), a velocidade determinada pelo Navier–Stokes entra na equação de energia através do termo convectivo \rho c_p \mathbf{u}\cdot\nabla T, o que gera acoplamento; ainda assim, para escoamentos laminares e regimes apropriados é possível usar correlações e analogias (por exemplo, analogia de Reynolds–Colburn) para relacionar coeficientes de atrito e transferência de calor.
Passo 8
Dicas práticas para a prova (curtinhas e úteis):
Sempre liste hipóteses (incompressível? estacionário? unidimensional? completamente desenvolvido?). Essas hipóteses simplificam a Navier–Stokes.
Procure termos que se anulem (por simetria ou porque dependem de variáveis que são constantes) — isso reduz a equação a uma ODE integrável.
Para reconhecer analogias, reescreva as equações na mesma forma e identifique as constantes (ex.: \mu \leftrightarrow k, \nu\leftrightarrow\alpha).
Use números adimensionais (Re, Pr, Sc) para justificar quando a convecção ou difusão domina.
Se a equação é linear (sem o termo convectivo do momentum), técnicas de solução são idênticas às de condução: integrar e aplicar contornos.
Resposta
(A) Os três fenômenos são análogos porque todos apresentam conservação (transiente), convecção e difusão e obedecem leis constitutivas lineares que ligam fluxo a gradientes: Lei de Newton para momentum (\tau\sim\mu\nabla \mathbf{u}), Lei de Fourier para calor (\mathbf{q}=-k\nabla T) e Lei de Fick para massa (\mathbf{J}=-D\nabla C). As equações gerais são, respectivamente,
As variáveis e parâmetros são: \rho densidade, \mathbf{u} velocidade, p pressão, \mu viscosidade dinâmica, T temperatura, k condutividade, c_p capacidade térmica, C concentração, D difusividade, fontes \dot{q}''' e S.
(B) Para escoamento incompressível laminar unidimensional (direção x), Navier–Stokes reduz a
\mu\frac{d^2 u}{d y^2}=\frac{d p}{d x}.
Significado físico dos termos: \mu\,d^2u/dy^2 é a difusão viscosa (força viscosa por unidade de volume), e dp/dx é o gradiente de pressão que impulsiona o escoamento. Termos de inércia e convecção foram nulos devido às hipóteses (estacionário, \partial/\partial t=0, e perfil dependente apenas de y).
(C) Comparação: os termos transiente, convectivo e difusivo aparecem nas três equações; as constantes difusivas têm mesma dimensão (\nu=\mu/\rho, \alpha=k/(\rho c_p), D). A analogia mantém-se quando as equações são lineares e as propriedades são constantes. Limitações: momentum é vetorial e inclui o termo convectivo não linear \mathbf{u}\cdot\nabla\mathbf{u} e pressão (sem análogo escalar direto); condições de contorno e forças de corpo podem diferir; em regime turbulento ou com propriedades variáveis a analogia falha ou só vale empiricamente.
(D) Exemplo resolvido (escoamento de Poiseuille entre placas em y=0 e y=H, placas fixas, \dfrac{dp}{dx}= const): velocidade