Quais são os pressupostos ou hipóteses simplificadoras para uso do modelo matemático? (2 pts)
Passo 1
O enunciado pergunta: “Quais são os pressupostos ou hipóteses simplificadoras para uso do modelo matemático?” A figura fornecida mostra um bocal/nozzle de turbina com água entrando no ponto
à pressão
e saindo no ponto
à pressão
. Eu estou usando explicitamente esses valores de pressão que aparecem na imagem. Não há outras informações numéricas na figura (por exemplo alturas, temperaturas, áreas específicas), portanto o modelo precisa de hipóteses simplificadoras para ser aplicável.
Passo 2
Assunção: escoamento estacionário. Explicação e por que simplifica.
- Significado: as grandezas em cada seção não mudam com o tempo. Matemáticamente isso implica que as derivadas temporais são nulas, por exemplo a vazão mássica é constante no tempo:
constante. - Consequência prática: podemos usar
com , e referentes às seções e não precisamos incluir termos nas equações de balanço. Isso torna as equações diferenciais temporais irrelevantes.
Passo 3
Assunção: escoamento unidimensional (média na seção). Explicação e por que simplifica.
- Significado: assumimos que as propriedades (velocidade
, pressão , densidade ) são uniformes na seção transversal e dependem apenas da posição ao longo do eixo do bocal. - Consequência prática: substituímos perfis transversais por valores médios e escrevemos continuidade como
para cada seção, em vez de integrais complexas sobre a área.
Passo 4
Assunção: fluido incompressível e de densidade constante (
constante). Explicação e por que simplifica.
- Justificativa: trata-se de água líquida; para variações de pressão moderadas a densidade praticamente não muda.
- Matemática: com
constante a equação da continuidade vira simplesmente e não precisamos da equação geral de conservação de massa para fluido compressível. Também simplifica a equação de energia, pois termos de compressibilidade (trabalhos de compressão) são desprezíveis.
Passo 5
Assunção: sem troca de calor (adiabático) e sem trabalho de eixo no bocal. Explicação e por que simplifica.
- Significado: o bocal é curto e não troca calor relevante com o ambiente; não há turbina ou eixo dentro do bocal que faça trabalho.
- Consequência prática: na equação de energia de um sistema de controle fica ausente o termo
(calor) e (trabalho de eixo), restando basicamente transformação entre energia de pressão e energia cinética.
Passo 6
Assunção: perdas viscosas desprezíveis (escoamento ideal / invíscido) ou, em alternativa, perdas representadas por um único coeficiente de perda. Explicação e por que simplifica.
- Significado: desprezamos atrito interno e irrversibilidades no interior do bocal; isto permite usar a forma simplificada da equação de Bernoulli para fluxo incompressível:
- Se quisermos maior realismo, podemos manter uma perda de carga única
e escrever . - Consequência prática: evita modelagem detalhada dos termos de viscosidade e permite relacionar
e de forma simples.
Passo 7
Assunção: variação de energia potencial desprezível (
). Explicação e por que simplifica.
- Significado: o bocal é aproximadamente horizontal ou a diferença de altura entre as seções é muito pequena.
- Consequência prática: o termo
na equação de Bernoulli pode ser cancelado entre as seções, reduzindo a equação ao balanço entre pressão e energia cinética.
Passo 8
Assunção: monofásico e sem cavitação (a água permanece líquida). Explicação e por que simplifica.
- Significado: não ocorre vaporização local; não há mistura líquido-vapor.
- Consequência prática: mantém válida a hipótese de incompressibilidade e evita fenômenos complexos (bolhas, mudanças bruscas de propriedades) que exigiriam modelagem mais sofisticada.
Passo 9
Resumo prático das implicações no modelo matemático.
- Com as hipóteses acima podemos usar continuidade
e a forma simplificada de Bernoulli/adaptação da energia para relacionar e entre as seções. - Se quisermos refinar, incluímos uma perda de carga global
para representar atrito irreversível. - Essas hipóteses reduzem o problema a equações algébricas simples que podem ser resolvidas à mão na prova.
Resposta
Escoamento estacionário (
constante).\nEscoamento unidimensional (propriedades médias na seção:
).\nFluido incompressível (
constante, água líquida).\nSem troca de calor (adiabático) e sem trabalho de eixo no bocal.\nPerdas viscosas desprezíveis (escoamento invíscido) ou representadas por uma perda de carga única
.\nVariação de altura desprezível (
).\nMonofásico sem cavitação (água permanece líquida).