Quais são os pressupostos ou hipóteses simplificadoras para uso do modelo matemático? (2 pts)

Passo 1

O enunciado pergunta: “Quais são os pressupostos ou hipóteses simplificadoras para uso do modelo matemático?” A figura fornecida mostra um bocal/​nozzle de turbina com água entrando no ponto 1 à pressão 800\\ \text{kPa} e saindo no ponto 2 à pressão 100\\ \text{kPa}. Eu estou usando explicitamente esses valores de pressão que aparecem na imagem. Não há outras informações numéricas na figura (por exemplo alturas, temperaturas, áreas específicas), portanto o modelo precisa de hipóteses simplificadoras para ser aplicável.

Passo 2

Assunção: escoamento estacionário. Explicação e por que simplifica.
  • Significado: as grandezas em cada seção não mudam com o tempo. Matemáticamente isso implica que as derivadas temporais são nulas, por exemplo a vazão mássica é constante no tempo: \dot m= constante.
  • Consequência prática: podemos usar \dot m=\rho A V com \rho, A e V referentes às seções e não precisamos incluir termos \partial/\partial t nas equações de balanço. Isso torna as equações diferenciais temporais irrelevantes.

Passo 3

Assunção: escoamento unidimensional (média na seção). Explicação e por que simplifica.
  • Significado: assumimos que as propriedades (velocidade V, pressão p, densidade \rho) são uniformes na seção transversal e dependem apenas da posição ao longo do eixo do bocal.
  • Consequência prática: substituímos perfis transversais por valores médios e escrevemos continuidade como \dot m=\rho A V para cada seção, em vez de integrais complexas sobre a área.

Passo 4

Assunção: fluido incompressível e de densidade constante ( \rho= constante). Explicação e por que simplifica.
  • Justificativa: trata-se de água líquida; para variações de pressão moderadas a densidade praticamente não muda.
  • Matemática: com \rho constante a equação da continuidade vira simplesmente \dot m=\rho A V e não precisamos da equação geral de conservação de massa para fluido compressível. Também simplifica a equação de energia, pois termos de compressibilidade (trabalhos de compressão) são desprezíveis.

Passo 5

Assunção: sem troca de calor (adiabático) e sem trabalho de eixo no bocal. Explicação e por que simplifica.
  • Significado: o bocal é curto e não troca calor relevante com o ambiente; não há turbina ou eixo dentro do bocal que faça trabalho.
  • Consequência prática: na equação de energia de um sistema de controle fica ausente o termo \dot Q (calor) e \dot W_{shaft} (trabalho de eixo), restando basicamente transformação entre energia de pressão e energia cinética.

Passo 6

Assunção: perdas viscosas desprezíveis (escoamento ideal / invíscido) ou, em alternativa, perdas representadas por um único coeficiente de perda. Explicação e por que simplifica.
  • Significado: desprezamos atrito interno e irrversibilidades no interior do bocal; isto permite usar a forma simplificada da equação de Bernoulli para fluxo incompressível:
p+\tfrac{1}{2}\rho V^{2}+\rho g z=\text{const.}
  • Se quisermos maior realismo, podemos manter uma perda de carga única h_L e escrever p_1+\tfrac12\rho V_1^2+\rho g z_1 = p_2+\tfrac12\rho V_2^2+\rho g z_2 + \rho g h_L.
  • Consequência prática: evita modelagem detalhada dos termos de viscosidade e permite relacionar p e V de forma simples.

Passo 7

Assunção: variação de energia potencial desprezível ( z_1\approx z_2). Explicação e por que simplifica.
  • Significado: o bocal é aproximadamente horizontal ou a diferença de altura entre as seções é muito pequena.
  • Consequência prática: o termo \rho g z na equação de Bernoulli pode ser cancelado entre as seções, reduzindo a equação ao balanço entre pressão e energia cinética.

Passo 8

Assunção: monofásico e sem cavitação (a água permanece líquida). Explicação e por que simplifica.
  • Significado: não ocorre vaporização local; não há mistura líquido-vapor.
  • Consequência prática: mantém válida a hipótese de incompressibilidade e evita fenômenos complexos (bolhas, mudanças bruscas de propriedades) que exigiriam modelagem mais sofisticada.

Passo 9

Resumo prático das implicações no modelo matemático.
  • Com as hipóteses acima podemos usar continuidade \dot m=\rho A V e a forma simplificada de Bernoulli/adaptação da energia para relacionar p e V entre as seções.
  • Se quisermos refinar, incluímos uma perda de carga global h_L para representar atrito irreversível.
  • Essas hipóteses reduzem o problema a equações algébricas simples que podem ser resolvidas à mão na prova.

Resposta

Escoamento estacionário ( \dot m constante).\nEscoamento unidimensional (propriedades médias na seção: A,V,p,\rho).\nFluido incompressível ( \rho= constante, água líquida).\nSem troca de calor (adiabático) e sem trabalho de eixo no bocal.\nPerdas viscosas desprezíveis (escoamento invíscido) ou representadas por uma perda de carga única h_L.\nVariação de altura desprezível ( z_1\approx z_2).\nMonofásico sem cavitação (água permanece líquida).

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