Uma bomba centrífuga radial projetada para trabalhar com água opera a 1250 rpm . As pás do rotor têm entrada radial. A vazão volumétrica no ponto de projeto (rendimento ótimo) é
. As características geométricas da bomba são:
a. Razão de diâmetros entre a entrada e saída das pás,
;
b. Diâmetro exterior do rotor,
e Largura de saída do rotor,
;
c. Ângulo das pás na saída,
;
d. Para o ponto de máximo rendimento: rendimento hidráulico
, rendimento volumétrico
, rendimento mecânico
;
e. A largura das pás não será considerada;
f. A bomba foi projetada para que a componente radial da velocidade absoluta seja constante à entrada e saída das pás;
g. As tubulações de sucção e descarga da bomba são iguais e os eixos dos flanges na entrada e saída da bomba estão na mesma cota;
h. A pressão absoluta na entrada da bomba é
quando a vazão volumétrica é
.
Calcular:
a) O ângulo de entrada nas pás; velocidades
e
; velocidade
; componente radial da velocidade absoluta na entrada e saída das pás; ângulo das pás na entrada da coroa diretriz;
b) Altura de Euler e altura útil;
c) Potência interna da bomba e Potência de acionamento;
d) Alturas de pressão e dinâmica do rotor, grau de reação da bomba;
e) Pressão absoluta d’água na saída da bomba.
a. Razão de diâmetros entre a entrada e saída das pás,
b. Diâmetro exterior do rotor,
c. Ângulo das pás na saída,
d. Para o ponto de máximo rendimento: rendimento hidráulico
e. A largura das pás não será considerada;
f. A bomba foi projetada para que a componente radial da velocidade absoluta seja constante à entrada e saída das pás;
g. As tubulações de sucção e descarga da bomba são iguais e os eixos dos flanges na entrada e saída da bomba estão na mesma cota;
h. A pressão absoluta na entrada da bomba é
a) O ângulo de entrada nas pás; velocidades
b) Altura de Euler e altura útil;
c) Potência interna da bomba e Potência de acionamento;
d) Alturas de pressão e dinâmica do rotor, grau de reação da bomba;
e) Pressão absoluta d’água na saída da bomba.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados numéricos:
- Velocidade de rotação:
. - Vazão volumétrica no ponto de projeto:
. - Razão de diâmetros:
. - Diâmetro exterior do rotor:
. - Largura na saída do rotor:
. - Ângulo das pás na saída:
. - Eficiências no ponto ótimo: rendimento hidráulico
, volumétrico , mecânico . - As pás têm entrada radial (fluxo absoluto com componente tangencial nula na entrada).
- A componente radial da velocidade absoluta é constante na entrada e na saída das pás (ou seja
). - Pressão absoluta na entrada:
. - Densidade da água (usarei):
. - Aceleração da gravidade:
.
O enunciado pede (itens a a e):
a) o ângulo de entrada nas pás ; velocidades periféricas
e
; velocidade absoluta na saída
; componente radial da velocidade absoluta na entrada e saída das pás
; ângulo das pás na entrada da coroa diretriz (ângulo de entrada do fluxo absoluto, que chamarei
).
b) altura de Euler e altura útil
.
c) potência interna da bomba (potência hidráulica entregue à água) e potência de acionamento (potência no motor/ator necessária).
d) alturas (de pressão e dinâmica) associadas ao rotor e o grau de reação da bomba.
e) pressão absoluta da água na saída .
a) o ângulo de entrada nas pás
b) altura de Euler
c) potência interna da bomba (potência hidráulica entregue à água) e potência de acionamento (potência no motor/ator necessária).
d) alturas (de pressão e dinâmica) associadas ao rotor e o grau de reação da bomba.
e) pressão absoluta da água na saída
Observação: nas fórmulas de turbomáquinas que vou usar:
-
é a velocidade periférica (m/s). -
é a componente radial (ou meridional) da velocidade absoluta. -
é a componente tangencial da velocidade absoluta. - A equação de Euler para máquinas rotativas (cabeça teórica) é
- Conservação de massa (fluxo radial) numa secção circular:
. - Energia total transformada pelo rotor (potência de Euler):
. - Potência hidráulica útil:
com . - Grau de reação: razão entre a elevação de pressão (cabeça estática) no rotor e a cabeça total de Euler:
Passo 2
Calcular parâmetros geométricos, velocidade angular e velocidades periféricas
e
.
- Converter rotação para velocidade angular:
Vou deixar o valor numérico em seguida.
- Raios:
(Usei
dado
.)
- Velocidades periféricas:
Cálculos numéricos:
Explicação rápida:
é a velocidade tangencial da periferia do rotor — é a velocidade que “arrasta” o fluido tangencialmente.
Passo 3
Determinar a componente radial
(é constante na entrada e saída segundo enunciado) usando conservação de massa na saída:
A área periférica por onde entra/sai o fluido na altura
é
. Assim
Como
,
Cálculo numérico:
Portanto
Comentário didático: a fórmula vem de dividir o fluxo volumétrico
pela área disponível para o escoamento em torno do anel do rotor.
Passo 4
Determinar o ângulo de entrada nas pás
e o ângulo da coroa diretriz
, e a velocidade absoluta na saída
.
- Como o enunciado diz “entrada radial das pás” e não há pré-arremesso (prewhirl), a componente tangencial absoluta na entrada é nula:
Logo a velocidade absoluta de entrada tem magnitude
- O ângulo das pás na entrada
é o ângulo entre a velocidade relativa (o que o fluido “vê” devido à rotação) e a direcção tangencial. A velocidade relativa na entrada é , ou seja em componentes: tangencial e radial . Portanto o ângulo (medido a partir da tangente) obedece
Cálculo:
Interpretação: as pás devem ter esse ângulo relativo para que o escoamento entre sem choque (admissão radial).
- Ângulo da coroa diretriz (ângulo do fluxo absoluto na entrada)
: como o fluxo absoluto é puramente radial, portanto o ângulo entre a velocidade absoluta e a tangente é . Logo
- Na saída: a lâmina tem
(dado). A relação entre componentes na saída é
portanto
Cálculo numérico:
- Magnitude da velocidade absoluta na saída:
Resumo deste passo (valores importantes):
Passo 5
Calcular a altura de Euler
e a altura útil
.
- Usando a equação de Euler (com
):
Numérico:
- Altura útil (considerando rendimento hidráulico
):
Explicação breve:
é a cabeça teórica que a geometria e as velocidades imprimem; perdas hidráulicas reduzem para
.
Passo 6
Potências: potência de Euler
, potência hidráulica útil
(potência interna entregue ao fluido) e potência de acionamento
.
- Potência teórica de Euler:
Cálculo:
- Potência hidráulica útil (potência interna entregue efetivamente à água):
Cálculo:
- Potência de acionamento (potência que o motor deve fornecer):
Há várias maneiras de distribuir perdas; uma formulação prática é considerar que o rotor precisa fornecer a potência teórica, e o motor deve suprir superando as perdas mecânicas e volumétricas. Uma expressão de uso comum em exercícios é:
Isso leva em conta que a eficiência mecânica
reduz a potência do motor disponível ao rotor e que perdas volumétricas exigem potência adicional por recirculação (logo dividir por
). Aplicando:
Comentário: outra forma seria escrever a potência de acionamento a partir da potência hidráulica útil dividindo pelo produto das eficiências totais; o resultado numérico relevante é que a potência do motor é maior que a potência hidráulica por causa das perdas mecânicas e volumétricas.
Passo 7
Alturas de pressão e dinâmica do rotor e grau de reação.
A equação energética entre entrada e saída do rotor fornece:
Portanto:
- Altura dinâmica (variação de energia cinética por unidade de peso):
Cálculo numérico:
- Altura de pressão (cabeça estática aumentada pelo rotor):
Cálculo:
- Grau de reação
(razão entre a elevação estática no rotor e a cabeça total de Euler):
Interpretação: cerca de
da elevação energética de Euler aparece como aumento de pressão estático no rotor; o restante vai para incremento da energia cinética (velocidade).
Passo 8
Calcular a pressão absoluta de saída
.
Usando
, temos
Cálculo:
Resposta
(a)
(b)
(c) Potência interna (hidráulica)
Potência de acionamento
Potência de acionamento
(d) Altura dinâmica do rotor
Altura de pressão do rotor
Grau de reação (ou
)
Altura de pressão do rotor
Grau de reação
(e) Pressão absoluta na saída
(≈
)