Uma bomba centrífuga radial projetada para trabalhar com água opera a 1250 rpm . As pás do rotor têm entrada radial. A vazão volumétrica no ponto de projeto (rendimento ótimo) é 0,045 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. As características geométricas da bomba são:
a. Razão de diâmetros entre a entrada e saída das pás, \mathrm{D}_{2} / \mathrm{D}_{1}=2;
b. Diâmetro exterior do rotor, \mathrm{D}_{2}=300 \mathrm{~mm} e Largura de saída do rotor, \mathrm{b}_{2}=20 \mathrm{~mm};
c. Ângulo das pás na saída, \beta_{2}=65^{\circ};
d. Para o ponto de máximo rendimento: rendimento hidráulico 85 \%, rendimento volumétrico 92 \%, rendimento mecânico 95 \%;
e. A largura das pás não será considerada;
f. A bomba foi projetada para que a componente radial da velocidade absoluta seja constante à entrada e saída das pás;
g. As tubulações de sucção e descarga da bomba são iguais e os eixos dos flanges na entrada e saída da bomba estão na mesma cota;
h. A pressão absoluta na entrada da bomba é 40,67 \mathrm{kPa} quando a vazão volumétrica é 0,045 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}.
Calcular:
a) O ângulo de entrada nas pás; velocidades \mathrm{u}_{2} e \mathrm{u}_{1}; velocidade \mathrm{V}_{2}; componente radial da velocidade absoluta na entrada e saída das pás; ângulo das pás na entrada da coroa diretriz;
b) Altura de Euler e altura útil;
c) Potência interna da bomba e Potência de acionamento;
d) Alturas de pressão e dinâmica do rotor, grau de reação da bomba;
e) Pressão absoluta d’água na saída da bomba.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado).
Dados numéricos:
  • Velocidade de rotação: N=1250\\ \text{rpm}.
  • Vazão volumétrica no ponto de projeto: Q=0,045\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.
  • Razão de diâmetros: \dfrac{D_2}{D_1}=2.
  • Diâmetro exterior do rotor: D_2=300\\ \mathrm{mm}=0{,}300\\ \mathrm{m}.
  • Largura na saída do rotor: b_2=20\\ \mathrm{mm}=0{,}020\\ \mathrm{m}.
  • Ângulo das pás na saída: \beta_2=65^\circ.
  • Eficiências no ponto ótimo: rendimento hidráulico \eta_h=0{,}85, volumétrico \eta_v=0{,}92, mecânico \eta_m=0{,}95.
  • As pás têm entrada radial (fluxo absoluto com componente tangencial nula na entrada).
  • A componente radial da velocidade absoluta é constante na entrada e na saída das pás (ou seja V_{r1}=V_{r2}).
  • Pressão absoluta na entrada: p_1=40{,}67\\ \mathrm{kPa}=40\,670\\ \mathrm{Pa}.
  • Densidade da água (usarei): \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
O enunciado pede (itens a a e):
a) o ângulo de entrada nas pás \beta_1; velocidades periféricas u_2 e u_1; velocidade absoluta na saída V_2; componente radial da velocidade absoluta na entrada e saída das pás V_{r1}=V_{r2}; ângulo das pás na entrada da coroa diretriz (ângulo de entrada do fluxo absoluto, que chamarei \alpha_1).
b) altura de Euler H_{Euler} e altura útil H_u.
c) potência interna da bomba (potência hidráulica entregue à água) e potência de acionamento (potência no motor/ator necessária).
d) alturas (de pressão e dinâmica) associadas ao rotor e o grau de reação da bomba.
e) pressão absoluta da água na saída p_2.
Observação: nas fórmulas de turbomáquinas que vou usar:
  • u=\omega r é a velocidade periférica (m/s).
  • V_r é a componente radial (ou meridional) da velocidade absoluta.
  • V_\theta é a componente tangencial da velocidade absoluta.
  • A equação de Euler para máquinas rotativas (cabeça teórica) é
H_{Euler}=\dfrac{u_2 V_{\theta2}-u_1 V_{\theta1}}{g}.
  • Conservação de massa (fluxo radial) numa secção circular: Q=2\pi r b\, V_r.
  • Energia total transformada pelo rotor (potência de Euler): P_E=\rho g Q H_{Euler}.
  • Potência hidráulica útil: P_h=\rho g Q H_u com H_u=\eta_h H_{Euler}.
  • Grau de reação: razão entre a elevação de pressão (cabeça estática) no rotor e a cabeça total de Euler:
R=\dfrac{\dfrac{p_2-p_1}{\rho g}}{H_{Euler}}.

Passo 2

Calcular parâmetros geométricos, velocidade angular e velocidades periféricas u_2 e u_1.
  • Converter rotação para velocidade angular:
\omega=\dfrac{2\pi N}{60}=\dfrac{2\pi\cdot1250}{60}\\ \mathrm{rad/s}.
Vou deixar o valor numérico em seguida.
  • Raios:
r_2=\dfrac{D_2}{2}=0{,}150\\ \mathrm{m},\qquad r_1=\dfrac{D_1}{2}=\dfrac{D_2/2}{2}=\dfrac{r_2}{2}=0{,}075\\ \mathrm{m}.
(Usei D_1=D_2/2 dado \dfrac{D_2}{D_1}=2.)
  • Velocidades periféricas:
u_2=\omega r_2,\qquad u_1=\omega r_1.
Cálculos numéricos:
\omega=\dfrac{2\pi\cdot1250}{60}\approx130{,}8997\\ \mathrm{rad/s},
u_2=130{,}8997\cdot0{,}150\approx19{,}63495\\ \mathrm{m/s},
u_1=130{,}8997\cdot0{,}075\approx9{,}81748\\ \mathrm{m/s}.
Explicação rápida: u=r\omega é a velocidade tangencial da periferia do rotor — é a velocidade que “arrasta” o fluido tangencialmente.

Passo 3

Determinar a componente radial V_{r} (é constante na entrada e saída segundo enunciado) usando conservação de massa na saída:
A área periférica por onde entra/sai o fluido na altura r_2 é A_2=2\pi r_2 b_2. Assim
Q = 2\pi r_2 b_2\, V_{r2}.
Como V_{r1}=V_{r2}=V_r,
V_r=\dfrac{Q}{2\pi r_2 b_2}.
Cálculo numérico:
V_r=\dfrac{0{,}045}{2\pi\cdot0{,}150\cdot0{,}020} =\dfrac{0{,}045}{0{,}0188496}\approx2{,}38732\\ \mathrm{m/s}.
Portanto
V_{r1}=V_{r2}=2{,}38732\\ \mathrm{m/s}.
Comentário didático: a fórmula vem de dividir o fluxo volumétrico Q pela área disponível para o escoamento em torno do anel do rotor.

Passo 4

Determinar o ângulo de entrada nas pás \beta_1 e o ângulo da coroa diretriz \alpha_1, e a velocidade absoluta na saída V_2.
  • Como o enunciado diz “entrada radial das pás” e não há pré-arremesso (prewhirl), a componente tangencial absoluta na entrada é nula:
V_{\theta1}=0.
Logo a velocidade absoluta de entrada tem magnitude
V_1=V_r=2{,}38732\\ \mathrm{m/s}.
  • O ângulo das pás na entrada \beta_1 é o ângulo entre a velocidade relativa \mathbf{W}_1 (o que o fluido “vê” devido à rotação) e a direcção tangencial. A velocidade relativa na entrada é \mathbf{W}_1=\mathbf{V}_1-\mathbf{u}_1, ou seja em componentes: tangencial W_{\theta1}=V_{\theta1}-u_1=-u_1 e radial W_{r1}=V_{r}. Portanto o ângulo \beta_1 (medido a partir da tangente) obedece
\tan\beta_1=\dfrac{W_{r1}}{|W_{\theta1}|}=\dfrac{V_r}{u_1}.
Cálculo:
\tan\beta_1=\dfrac{2{,}38732}{9{,}81748}=0{,}243233\quad\Rightarrow\quad \beta_1=\arctan(0{,}243233)\approx13{,}674^\circ.
Interpretação: as pás devem ter esse ângulo relativo para que o escoamento entre sem choque (admissão radial).
  • Ângulo da coroa diretriz (ângulo do fluxo absoluto na entrada) \alpha_1: como V_{\theta1}=0 o fluxo absoluto é puramente radial, portanto o ângulo entre a velocidade absoluta e a tangente é 90^\circ. Logo
\alpha_1=90^\circ.
  • Na saída: a lâmina tem \beta_2=65^\circ (dado). A relação entre componentes na saída é
\tan\beta_2=\dfrac{V_{r}}{u_2-V_{\theta2}}\quad\Rightarrow\quad u_2-V_{\theta2}=\dfrac{V_r}{\tan\beta_2},
portanto
V_{\theta2}=u_2-\dfrac{V_r}{\tan\beta_2}.
Cálculo numérico:
\tan65^\circ\approx2{,}1445069,
\dfrac{V_r}{\tan\beta_2}=\dfrac{2{,}38732}{2{,}1445069}\approx1{,}11345\\ \mathrm{m/s},
V_{\theta2}=19{,}63495-1{,}11345\approx18{,}52151\\ \mathrm{m/s}.
  • Magnitude da velocidade absoluta na saída:
V_2=\sqrt{V_r^2+V_{\theta2}^2} =\sqrt{(2{,}38732)^2+(18{,}52151)^2}\approx18{,}6817\\ \mathrm{m/s}.
Resumo deste passo (valores importantes):
\beta_1\approx13{,}674^\circ,\quad \alpha_1=90^\circ,
u_2\approx19{,}63495\\ \mathrm{m/s},\quad u_1\approx9{,}81748\\ \mathrm{m/s},
V_{r1}=V_{r2}\approx2{,}38732\\ \mathrm{m/s},\quad V_2\approx18{,}6817\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Calcular a altura de Euler H_{Euler} e a altura útil H_u.
  • Usando a equação de Euler (com V_{\theta1}=0):
H_{Euler}=\dfrac{u_2 V_{\theta2}-u_1 V_{\theta1}}{g}=\dfrac{u_2 V_{\theta2}}{g}.
Numérico:
u_2 V_{\theta2}=19{,}63495\cdot18{,}52151\approx363{,}6646\\ \mathrm{m^2/s^2},
H_{Euler}=\dfrac{363{,}6646}{9{,}81}\approx37{,}0798\\ \mathrm{m}.
  • Altura útil (considerando rendimento hidráulico \eta_h):
H_u=\eta_h\, H_{Euler}=0{,}85\cdot37{,}0798\approx31{,}5179\\ \mathrm{m}.
Explicação breve: H_{Euler} é a cabeça teórica que a geometria e as velocidades imprimem; perdas hidráulicas reduzem para H_u.

Passo 6

Potências: potência de Euler P_E, potência hidráulica útil P_h (potência interna entregue ao fluido) e potência de acionamento P_{motor}.
  • Potência teórica de Euler:
P_E=\rho g Q H_{Euler}.
Cálculo:
P_E=1000\cdot9{,}81\cdot0{,}045\cdot37{,}0798 =45\cdot363{,}6646\approx16\,364{,}91\\ \mathrm{W}\approx16{,}365\\ \mathrm{W}.
  • Potência hidráulica útil (potência interna entregue efetivamente à água):
P_h=\rho g Q H_u=\eta_h P_E.
Cálculo:
P_h=0{,}85\cdot16\,364{,}91\approx13\,909{,}17\\ \mathrm{W}\approx13{,}909\\ \mathrm{W}.
  • Potência de acionamento (potência que o motor deve fornecer):
    Há várias maneiras de distribuir perdas; uma formulação prática é considerar que o rotor precisa fornecer a potência teórica P_E, e o motor deve suprir P_E superando as perdas mecânicas e volumétricas. Uma expressão de uso comum em exercícios é:
P_{motor}=\dfrac{P_E}{\eta_m\,\eta_v}.
Isso leva em conta que a eficiência mecânica \eta_m reduz a potência do motor disponível ao rotor e que perdas volumétricas exigem potência adicional por recirculação (logo dividir por \eta_v). Aplicando:
P_{motor}=\dfrac{16\,364{,}91}{0{,}95\cdot0{,}92}\approx\frac{16\,364{,}91}{0{,}874}\approx18\,729{,}4\\ \mathrm{W}\approx18{,}729\\ \mathrm{W}.
Comentário: outra forma seria escrever a potência de acionamento a partir da potência hidráulica útil dividindo pelo produto das eficiências totais; o resultado numérico relevante é que a potência do motor é maior que a potência hidráulica por causa das perdas mecânicas e volumétricas.

Passo 7

Alturas de pressão e dinâmica do rotor e grau de reação.
A equação energética entre entrada e saída do rotor fornece:
\dfrac{p_2-p_1}{\rho g}+\dfrac{V_2^2-V_1^2}{2g}=H_{Euler}.
Portanto:
  • Altura dinâmica (variação de energia cinética por unidade de peso):
H_{din}=\dfrac{V_2^2-V_1^2}{2g}.
Cálculo numérico:
V_2^2\approx(18{,}6817)^2\approx348{,}8889\\ \mathrm{(m^2/s^2)},\qquad V_1^2=(2{,}38732)^2\approx5{,}6976,
V_2^2-V_1^2\approx343{,}1913,
H_{din}=\dfrac{343{,}1913}{2\cdot9{,}81}\approx17{,}4953\\ \mathrm{m}.
  • Altura de pressão (cabeça estática aumentada pelo rotor):
H_{press}=\dfrac{p_2-p_1}{\rho g}=H_{Euler}-H_{din}.
Cálculo:
H_{press}=37{,}0798-17{,}4953\approx19{,}5845\\ \mathrm{m}.
  • Grau de reação R (razão entre a elevação estática no rotor e a cabeça total de Euler):
R=\dfrac{H_{press}}{H_{Euler}}=\dfrac{19{,}5845}{37{,}0798}\approx0{,}5284\approx52{,}84\%.
Interpretação: cerca de 52{,}8\% da elevação energética de Euler aparece como aumento de pressão estático no rotor; o restante vai para incremento da energia cinética (velocidade).

Passo 8

Calcular a pressão absoluta de saída p_2.
Usando H_{press}=(p_2-p_1)/(\rho g), temos
p_2=p_1+\rho g H_{press}.
Cálculo:
\rho g H_{press}=1000\cdot9{,}81\cdot19{,}5845\approx192{,}011\\ \mathrm{Pa},
p_2=40\,670+192{,}011\approx232{,}681\\ \mathrm{Pa}\approx232{,}7\\ \mathrm{kPa}.

Resposta

(a) \beta_{1}\approx13{,}674^\circ
u_{2}\approx19{,}63495\\ \mathrm{m/s}
u_{1}\approx9{,}81748\\ \mathrm{m/s}
V_{2}\approx18{,}6817\\ \mathrm{m/s}
V_{r1}=V_{r2}\approx2{,}38732\\ \mathrm{m/s}
\alpha_{1}=90^\circ
(b) H_{Euler}\approx37{,}0798\\ \mathrm{m}
H_{u}\approx31{,}5179\\ \mathrm{m}
(c) Potência interna (hidráulica) P_{h}\approx13{,}909\\ \mathrm{kW}
Potência de acionamento P_{motor}\approx18{,}729\\ \mathrm{kW}
(d) Altura dinâmica do rotor H_{din}\approx17{,}4953\\ \mathrm{m}
Altura de pressão do rotor H_{press}\approx19{,}5845\\ \mathrm{m}
Grau de reação R\approx0{,}5284 (ou 52{,}84\%)
(e) Pressão absoluta na saída p_{2}\approx232{,}681\\ \mathrm{Pa} (≈ 232{,}7\\ \mathrm{kPa})

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