O impulsor de uma bomba centrífuga tem um diâmetro de
; área periférica na saída de
; ângulo da aleta no bordo de fuga de
e uma razão de diâmetros externo/interno de 2:1. Calcule:
a. A eficiência hidráulica;
b. A potência útil em hp;
c. A rotação mínima para elevar o fluido de trabalho (água) através de uma altura de carga de
. A bomba centrífuga tem uma capacidade de
.
a. A eficiência hidráulica;
b. A potência útil em hp;
c. A rotação mínima para elevar o fluido de trabalho (água) através de uma altura de carga de
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (faço uma pequena observação sobre uma ambiguidade que apareceu nos dados).
Dados fornecidos:
- Diâmetro externo do impulsor:
. Logo raio externo . - Rotação nominal:
. - Área periférica na saída (área de escoamento no contorno de saída):
. - Ângulo da aleta no bordo de fuga:
. - Razão diâmetros externo/interno
. Assim o diâmetro interno e . - Capacidade (vazão) informada como
. Aqui há ambiguidade de unidade: provavelmente significa (litros por segundo), que é equivalente a . Assumirei . Vou explicitar esta hipótese e prosseguir com ela. Se a intenção fosse outra (por ex. , valor absurdamente grande), os resultados mudariam; como não foi informado, trabalho com .
O que o enunciado pede:
(a) A eficiência hidráulica.
(b) A potência útil (em hp).
(c) A rotação mínima para elevar água através de uma carga de .
(a) A eficiência hidráulica.
(b) A potência útil (em hp).
(c) A rotação mínima para elevar água através de uma carga de
Observação importante sobre (a): para calcular uma eficiência hidráulica real é preciso comparar a potência hidráulica (útil) com a potência fornecida ao eixo (ou conhecer perdas). O enunciado não fornece potência de eixo nem perdas. Assim, só é possível:
- calcular a potência hidráulica (útil) a partir da vazão e da altura (usando o resultado da equação de Euler para a altura teórica), ou
- assumir que não há perdas hidráulicas (caso ideal), o que dá eficiência hidráulica igual a
.
Vou primeiro derivar a altura teórica dada pela equação de Euler (usando os triângulos de velocidade na saída), obter a potência hidráulica associada e então tratar a eficiência com as observações acima.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (aula curta e prática):
- Equação de Euler para turbomáquinas (para bomba centrífuga, convertida para altura): a altura teórica fornecida pela turbina/impulsor é
onde:
-
é a velocidade periférica (tangencial) das pás no raio considerado: ; -
é a componente tangencial da velocidade absoluta do fluido; -
é a gravidade (vou usar ); -
índices
referem-se a entrada e saída do impulsor, respectivamente. -
Em muitos problemas de bomba radial, a entrada tem pouca componente tangencial útil (admitimos
se não informado). Vou usar essa hipótese padrão (entrada sem rotação/whirl útil). -
Geometria do triângulo de velocidades na saída: a velocidade meridional (radial/axial de escoamento) na saída é
Pela geometria do triângulo relativo, assumindo que o escoamento relativo segue a pá (sem deslizamento), vale
pois
(componente meridional relativa igual à absoluta) e
. Isolando
obtemos a relação prática que usaremos:
Substituindo em Euler (com
):
Esta equação permite calcular a altura teórica
para dada rotação
(via
) e vazão
(via
).
Passo 3
Cálculos numéricos passo a passo (velocidades e componentes):
- Calcular
(velocidade periférica na borda externa) com e :
Substituindo:
Faço a conta:
- Calcular velocidade meridional na saída
:
- Calcular
com :
- Calcular
pela fórmula deduzida:
Substituindo valores:
Passo 4
Calcular a altura teórica
usando Euler:
Faço a conta:
Interpretação rápida: com os dados e
a altura teórica disponível segundo Euler é cerca de
.
Passo 5
Potência hidráulica útil (energia por unidade de tempo fornecida à água), que é a potência útil requerida para elevar a água através da altura
(energia potencial + carga dinâmica se houver; aqui usamos a carga
):
A potência hidráulica é
A potência hidráulica é
para água tomo
. Usamos
e
:
Calculo:
Portanto
.
Converter para cavalos-vapor (hp). Usarei
:
Passo 6
Sobre a eficiência hidráulica (parte a):
- Observação conceitual: a eficiência hidráulica real
é definida como a razão entre a potência hidráulica útil e a potência disponibilizada pelo impulsor segundo Euler . Mas note que (mesma expressão), logo se tomarmos (ou seja, assumirmos ausência de perdas hidráulicas), a eficiência hidráulica será por construção. - O enunciado não fornece nem potência de eixo nem perdas nem a altura real medida no sistema; por isso não é possível calcular uma eficiência hidráulica real (menor que 1) sem informação adicional.
- Portanto, apresento dois enunciados possíveis:
- Eficiência hidráulica ideal (assumindo sem perdas hidráulicas):
ou . - Eficiência hidráulica real: não pode ser determinada com os dados fornecidos (falta potência de eixo ou perdas ou altura real do sistema).
- Eficiência hidráulica ideal (assumindo sem perdas hidráulicas):
Vou adotar a interpretação prática: se o professor espera uso direto da equação de Euler e não deu perdas, o resultado será eficiência hidráulica ideal
. Vou reportar esse valor e explicitar que é sob a hipótese ideal.
Passo 7
Cálculo da rotação mínima para elevar água por uma carga de
(parte c). Aqui queremos a mínima rotação
tal que a altura produzida
seja
.
Usamos a fórmula da Passo 2:
Para encontrar
desconhecido impomos
e resolvemos a equação quadrática em
:
A solução positiva é
Substituo valores já calculados:
Logo
Agora converter
para rotação
:
Substituindo
e
:
Interpretação: a rotação mínima para gerar uma carga de
com essa vazão e geometria é aproximadamente
. Como a rotação dada inicial
é maior, a bomba na rotação inicial poderia (teoricamente) fornecer a carga de
com folga (lembrando sempre que estamos usando a formulação ideal de Euler e sem perdas).
Resposta
(a)
(100%) — sob a hipótese ideal de ausência de perdas hidráulicas.
(b) Potência útil .
(c) Rotação mínima (aprox.
).
(b) Potência útil
(c) Rotação mínima