No tubo de seção circular com diâmetro é de 10 cm , o escoamento é do tipo turbulento e o fluido escoado possui peso específico de 10^{4} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3}. Um tubo de pitot está instalado de forma a medir a velocidade no eixo do tubo, sabendo que é usado um tubo simples para medir a diferença de pressão com fluido manométrico \gamma_{\mathrm{M}}=1,36 \times 10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{3} e diferença de altura de 5 cm . Qual a velocidade medida pelo tubo?

Passo 1

Dados e o que o enunciado pede (tudo explicitado):
  • Diâmetro do tubo: d=10\\ \mathrm{cm}=0,10\\ \mathrm{m}.
  • Escoamento: turbulento (informação dada; não será necessária para a conta direta do Pitot).
  • Peso específico do fluido que escoa: \gamma=10^{4}\\ \mathrm{N/m^{3}}.
  • Tubo de Pitot ligado a um manômetro simples com fluido manométrico de peso específico \gamma_{\mathrm{M}}=1{,}36\times10^{5}\\ \mathrm{N/m^{3}}.
  • Diferença de altura medida no manômetro: h=5\\ \mathrm{cm}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
O que se pede: calcular a velocidade no eixo do tubo medida pelo tubo de Pitot (ou seja, a velocidade correspondente à diferença de pressão indicada pelo manômetro).

Passo 2

Princípio físico básico (explicado passo a passo, sem pular etapas):
  • Um tubo de Pitot mede a diferença entre a pressão total (estagnada) e a pressão estática do escoamento. Essa diferença é a pressão dinâmica.
  • A relação entre pressão dinâmica e velocidade é dada pela expressão clássica (equivalente à forma simplificada da equação de Bernoulli entre um ponto em escoamento e o ponto de estagnação no mesmo fluido):
\Delta p = p_{\text{total}} - p_{\text{estático}} = \tfrac{1}{2}\rho v^{2},á
onde \rho é a massa específica do fluido (densidade) e v é a velocidade do fluido no ponto medido.
  • Notas sobre as variáveis: \Delta p tem unidades \mathrm{N/m^{2}}, \rho tem unidades \mathrm{kg/m^{3}} e v tem unidades \mathrm{m/s}.

Passo 3

Como o manômetro transforma a diferença de pressão em diferença de altura (dedução didática e simples):
  • O manômetro em U estabelece equilíbrio hidrostático entre as duas colunas de fluidos (o fluido manométrico e o fluido que escoa). Ao escrever as pressões ao longo de um caminho vertical até um mesmo nível de referência, chega-se à relação (fórmula clássica para manômetro quando a outra coluna contém o fluido do escoamento):
\Delta p = ( \gamma_{\mathrm{M}} - \gamma )\, h.
  • Interpretação física: o fluido manométrico é mais pesado; a diferença de peso específico entre o manométrico e o fluido do escoamento multiplicada pela diferença de altura h é o excesso de pressão que mantém o equilíbrio. Essa é a expressão que relaciona a leitura h com a pressão medida pelo Pitot.

Passo 4

Calcular numericamente a diferença de pressão \Delta p usando a expressão do manômetro:
  • Substituindo os dados:
\Delta p = \bigl(\gamma_{\mathrm{M}} - \gamma\bigr)\,h
\Delta p = \bigl(1{,}36\times10^{5} - 1\times10^{4}\bigr)\times 0{,}05\\ \mathrm{N/m^{2}}
\Delta p = 126000\times 0{,}05\\ \mathrm{N/m^{2}} = 6300\\ \mathrm{N/m^{2}}.

Passo 5

Relacionar \Delta p com v usando a expressão da pressão dinâmica e escrever v isolada:
  • A pressão dinâmica é \Delta p = \tfrac{1}{2}\rho v^{2}. Precisamos da densidade \rho. Como foi dada a massa específica por peso específico \gamma, usamos \rho=\gamma/g, tomando g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Substituindo \rho em \Delta p:
\Delta p = \tfrac{1}{2}\,\frac{\gamma}{g}\,v^{2}.
  • Isolando v:
v = \sqrt{\dfrac{2\,\Delta p\,g}{\gamma}}.

Passo 6

Cálculo numérico final (mostrando cada passo do cálculo para poder replicar na prova sem calculadora complicada):
  • Colocar os números na fórmula:
v = \sqrt{\dfrac{2\cdot 6300\\ \mathrm{N/m^{2}}\cdot 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}}{10^{4}\\ \mathrm{N/m^{3}}}}.
  • Calcular o numerador interno:
2\cdot 6300 \cdot 9{,}81 = 123606.
  • Dividir pelo denominador:
\frac{123606}{10^{4}} = 12{,}3606.
  • Raiz quadrada:
v = \sqrt{12{,}3606}\\ \mathrm{m/s} \approx 3{,}51\\ \mathrm{m/s}.

Passo 7

Observações finais e incentivo:
  • Repare que o diâmetro do tubo não entrou nos cálculos: um Pitot mede pressão dinâmica local, que depende apenas da velocidade local e da densidade; dimensões do tubo só importariam em outras análises (perdas, perfil de velocidade, etc.).
  • Você fez certinho: usar a relação do manômetro para achar \Delta p e depois a fórmula \Delta p=\tfrac{1}{2}\rho v^{2}. Vai com confiança para a prova — é um raciocínio curto e repetível.

Resposta

v \approx 3{,}51\\ \mathrm{m/s}

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