Um material isolante térmico ( k=2,5 \times 10^{-4} \mathrm{~W} /(\mathrm{mK}) ) é usado para isolar um tanque metálico com parede fina contendo propano líquido (GLP) mantido na temperatura de ebulição ( -42,0^{\circ} \mathrm{C} ), na pressão atmosférica. Considera-se que o tanque é cilíndrico com diâmetro interno de 20 cm e altura de 120 cm , e que possui uma abertura para liberar o propano vaporizado, no ar atmosférico. Calcular a quantidade de propano vaporizado por dia para uma espessura de isolamento de 30 mm , com a temperatura de todas as superfícies externas do isolamento térmico mantidas a 20^{\circ} \mathrm{C}. Para o propano líquido \rho=583 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} e o calor latente de vaporização na pressão atmosférica e na temperatura de ebulição, h_{l, v}=425,65 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a quantidade de propano vaporizado por dia, sabendo que o tanque cilíndrico contém propano líquido a -42,0^\circ\mathrm{C} (temperatura de ebulição à pressão atmosférica) e que as superfícies externas do isolamento estão a 20^\circ\mathrm{C}. Dados fornecidos:
\begin{aligned} &k = 2,5\times 10^{-4}\\ \mathrm{W/(m\;K)} \\\ &\text{diâmetro interno do tanque } D = 0,20\\ \mathrm{m} \Rightarrow r_1 = 0,10\\ \mathrm{m} \\\ &\text{altura } L = 1,20\\ \mathrm{m} \\\ &\text{espessura do isolamento } t = 30\\ \mathrm{mm} = 0,03\\ \mathrm{m} \\\ &T_{\text{externa}} = 20^\circ\mathrm{C},\quad T_{\text{interna}} = -42,0^\circ\mathrm{C} \\\ &\Delta T = T_{\text{externa}} - T_{\text{interna}} = 62^\circ\mathrm{C} \\\ &\rho_{\text{liq}} = 583\\ \mathrm{kg/m^3} \\\ &h_{l,v} = 425{,}65\\ \mathrm{kJ/kg} = 425650\\ \mathrm{J/kg} \end{aligned}â
Observação: o tanque é de parede fina, portanto consideramos que a resistência térmica metálica é desprezível e o fluxo de calor atravessa apenas o isolamento. Vamos calcular o fluxo de calor total através da superfície lateral mais as duas tampas (topo e fundo) do cilindro e converter esse calor em massa vaporizada por dia.

Passo 2

Explicação da fórmula para condução radial em um cilindro (superfície lateral):
Quando o calor flui radialmente através de uma casca cilíndrica de material homogêneo e espessura entre raios r_1 (interno) e r_2 (externo), em regime permanente a taxa de calor Q (em watts) é dada por
Q_{\text{lat}} = \frac{2\pi k L\,(T_{\text{ext}}-T_{\text{int}})}{\ln\!\left(\dfrac{r_2}{r_1}\right)}.
O que significa cada termo:
  • k: condutividade térmica do isolamento ( \mathrm{W/(m\;K)});
  • L: altura efetiva do cilindro (m);
  • T_{\text{ext}}-T_{\text{int}}: diferença de temperatura entre as superfícies externa e interna (K ou °C);
  • \ln(r_2/r_1): forma geométrica que aparece ao integrar a equação diferencial radial; essa razão aparece porque a área de seção transversal varia com o raio.
Para as tampas (superfícies planas), usamos a aproximação de condução plana (placa fina) através do isolamento de espessura t:
Q_{\text{tampa}} = \frac{k A\, (T_{\text{ext}}-T_{\text{int}})}{t},
onde A é a área da tampa (aproximamos A=\pi r_1^2, área do círculo interno do tanque). Há duas tampas, então a contribuição total das tampas é 2Q_{\text{tampa}}. Esta é uma aproximação comum em exercícios (justificável quando a espessura é pequena e a geometria do isolamento das tampas é parecida com uma placa).

Passo 3

Calcular os raios e r_2:
r_1 = 0,10\\ \mathrm{m},\qquad r_2 = r_1 + t = 0,10 + 0,03 = 0,13\\ \mathrm{m}.
Calcular o fluxo pela superfície lateral usando a fórmula radial:
Q_{\text{lat}} = \frac{2\pi \cdot (2{,}5\times10^{-4}) \cdot 1{,}20 \cdot 62}{\ln\!\left(\dfrac{0,13}{0,10}\right)}.
Agora as contas passo a passo:
\ln\!\left(\dfrac{0,13}{0,10}\right)=\ln(1{,}3)=0{,}262364\ldots
2\pi k L = 2\pi \cdot 2{,}5\times10^{-4}\cdot 1{,}20 = 1{,}8849556\times10^{-3}
\text{numerador} = 1{,}8849556\times10^{-3}\cdot 62 = 0{,}11686725
Q_{\text{lat}} = \dfrac{0{,}11686725}{0{,}262364} \approx 0{,}44563\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Calcular o fluxo através das tampas (duas placas circulares). Área de cada tampa:
A = \pi r_1^2 = \pi (0,10)^2 = 0{,}0314159\\ \mathrm{m^2}.
Fluxo por uma tampa:
Q_{\text{tampa}} = \frac{k A \Delta T}{t} = \frac{2{,}5\times10^{-4}\cdot 0{,}0314159\cdot 62}{0{,}03}.
Cálculo passo a passo:
kA = 2{,}5\times10^{-4}\cdot 0{,}0314159 = 7{,}8539816\times10^{-6}
kA\Delta T = 7{,}8539816\times10^{-6}\cdot 62 = 4{,}8714696\times10^{-4}
Q_{\text{tampa}} = \frac{4{,}8714696\times10^{-4}}{0{,}03} = 0{,}0162382\\ \mathrm{W}.
Duas tampas:
Q_{\text{tampas}} = 2\cdot Q_{\text{tampa}} = 0{,}0324764\\ \mathrm{W}.

Passo 5

Fluxo de calor total entrando no tanque:
Q_{\text{total}} = Q_{\text{lat}} + Q_{\text{tampas}} = 0{,}44563 + 0{,}0324764 \approx 0{,}47811\\ \mathrm{W}.
Interpretação física: cerca de 0{,}478\\ \mathrm{J/s} entram e são usados para vaporizar o propano.

Passo 6

Converter calor em massa vaporizada usando o calor latente:
A taxa de vaporização (massa por segundo) é
\dot m = \frac{Q_{\text{total}}}{h_{l,v}},
onde h_{l,v}=425650\\ \mathrm{J/kg}. Então
\dot m = \frac{0{,}47811}{425650}\approx 1{,}1233\times10^{-6}\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 7

Converter para massa por dia: um dia tem 86400\\ \mathrm{s}, então
m_{\text{dia}} = \dot m \cdot 86400 = 1{,}1233\times10^{-6}\cdot 86400 \approx 0{,}09702\\ \mathrm{kg/dia}.
Ou seja, aproximadamente 9{,}7\times10^{-2}\\ \mathrm{kg} por dia (cerca de 97\\ \mathrm{g} por dia).

Passo 8

Se quisermos o volume de propano líquido vaporizado por dia, usamos a densidade:
V_{\text{dia}} = \frac{m_{\text{dia}}}{\rho} = \frac{0{,}09702}{583} \approx 1{,}664\times10^{-4}\\ \mathrm{m^3/dia} = 0{,}1664\\ \mathrm{L/dia}.

Resposta

m_{\text{vap}}\approx 0{,}0970\\ \mathrm{kg/dia}
V_{\text{vap}}\approx 0{,}166\\ \mathrm{L/dia}

Exercícios relacionados