Uma bomba hidráulica instalada em um poço artesiano tem custos operacionais de \ 450 / ano, considerados muito altos para o tipo de instalação. Trocá-la por um equipamento mais moderno representaria um investimento líquido deçãáí$1.230$ sem valor residual. Uma projeção indica que a nova bomba teria os seguintes custos operacionais/ano ao longo de sua vida útil:
\underline{\text { ano } 0} \underline{\text { ano } 1} \underline{\text { ano } 2} \underline{\text { ano } 3} \underline{\text { ano } 4} \underline{\text { ano } 5}
custos operacionais: 0 \ 250 &$200 &$ 150 &$100 &$ 50$
Considerando um custo de oportunidade do capital de 2 \% a.a., calcular o custo anual uniforme equivalente (CAE) das duas alternativas (trocar e não trocar a bomba) e determinar se a bomba deve ou não ser substituída. Não levar em consideração efeitos fiscais.

Passo 1

O que o problema pede:
  • Calcular o custo anual uniforme equivalente (CAE) da alternativa “não trocar a bomba” e da alternativa “trocar a bomba”.
  • Decidir se a bomba deve ou não ser substituída com base nesses CAE.
Informações fornecidas (listei tudo o que o enunciado deu):
  • Custo operacional atual se não trocar: \$ 450 por ano (assumimos que isso é um valor anual recorrente).
  • Investimento líquido para trocar a bomba no ano 0: \$ 1.230 (sem valor residual).
  • Custos operacionais da nova bomba por ano:
    • ano 0: \$ 0 (o investimento já foi no ano 0)
    • ano 1: \$ 250
    • ano 2: \$ 200
    • ano 3: \$ 150
    • ano 4: \$ 100
    • ano 5: \$ 50
  • Vida útil da nova bomba: 5 anos (dados até ano 5).
  • Custo de oportunidade do capital: 2\% a.a. ( i=2\%).
Observação importante (do tipo que costuma aparecer em prova): o enunciado dá a vida útil da nova bomba (5 anos). Para comparar as alternativas usamos como horizonte de análise esse mesmo período de 5 anos (método padrão em economia de engenharia quando uma alternativa tem vida limitada). Não consideramos efeitos fiscais (já pedido).

Passo 2

Plano e conceito — o que é CAE e como vamos calcular:
  • CAE (custo anual equivalente) é a quantia anual fixa que, ao longo do horizonte de análise, tem o mesmo valor presente que todos os custos (investimento inicial + custos operacionais) da alternativa.
  • Procedimento prático que vou usar:
    1. Calcular o valor presente (PV) de todos os custos da alternativa “trocar” (investimento em ano 0 + soma dos custos operacionais descontados ao ano 0).
    2. Converter esse valor presente para um equivalente anual uniforme usando o fator de recuperação de capital (A/P).
  • Fórmulas que usaremos:
    • Desconto de um custo C_t no tempo t para o presente: \text{PV de }C_t = \frac{C_t}{(1+i)^t},onde i é a taxa de juros ( i=0{,}02 neste problema) e t é o ano (inteiro).
    • Soma dos PVs dos custos operacionais: \text{PV}_{\text{ops}} = \sum_{t=1}^{5} \frac{C_t}{(1+i)^t}.
    • Valor presente total da alternativa “trocar”: \text{PV}_{\text{total}} = 1230 + \text{PV}_{\text{ops}},onde \$1230 é o investimento no ano 0.
    • Fator de recuperação de capital (A/P) para transformar PV em uma anuidade para n anos: \left(\frac{A}{P},i,n\right)=\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}.Esse fator multiplica o PV para obter a anuidade A (o CAE).
    • Assim: \text{CAE} = \text{PV}_{\text{total}}\cdot\left(\frac{A}{P},i,5\right).
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo e explicar cada termo enquanto calculo.

Passo 3

Calcular o valor presente dos custos operacionais da nova bomba:
  • Usamos \displaystyle \text{PV}_{\text{ops}}=\sum_{t=1}^{5}\frac{C_t}{(1+i)^t} com i=0{,}02.
Calculo termo a termo (cada linha é um custo no ano t descontado ao ano 0):
\begin{aligned} \frac{250}{(1{+}0{,}02)^1} &= \frac{250}{1{,}02} = 245{,}098039\ldots \\\ \frac{200}{(1{+}0{,}02)^2} &= \frac{200}{1{,}0404} \approx 192{,}233756\ldots \\\ \frac{150}{(1{+}0{,}02)^3} &= \frac{150}{1{,}061208} \approx 141{,}348349\ldots \\\ \frac{100}{(1{+}0{,}02)^4} &= \frac{100}{1{,}08243216} \approx 92{,}384490\ldots \\\ \frac{50}{(1{+}0{,}02)^5} &= \frac{50}{1{,}1040808032} \approx 45{,}286525\ldots \end{aligned}
Agora somo esses valores para obter \text{PV}_{\text{ops}}:
\text{PV}_{\text{ops}} \approx 245{,}098039 + 192{,}233756 + 141{,}348349 + 92{,}384490 + 45{,}286525 \approx 716{,}351159.
(Arredondei os termos a 6 casas decimais para clareza; o somatório final ficou aproximadamente \$716{,}35.)

Passo 4

Valor presente total da alternativa “trocar”:
\text{PV}_{\text{total}} = 1230 + \text{PV}_{\text{ops}} \approx 1230 + 716{,}351159 \approx 1946{,}351159.
Explicação: o investimento é pago no ano 0 (já está em valor presente), então somamos diretamente.

Passo 5

Calcular o fator de recuperação de capital \left(\dfrac{A}{P},i,5\right) para i=2\% e n=5:
  • Primeiro (1+i)^5 = (1{+}0{,}02)^5 \approx 1{,}1040808032.
  • Então
\left(\frac{A}{P},0{,}02,5\right)=\frac{0{,}02\cdot 1{,}1040808032}{1{,}1040808032-1}=\frac{0{,}022081616064}{0{,}1040808032}\approx 0{,}212146.
Interpretação: multiplicando um PV por 0{,}212146 obtemos a anuidade equivalente em cada ano durante 5 anos à taxa de 2\%.

Passo 6

Calcular o CAE da alternativa “trocar”:
\text{CAE}_{\text{trocar}} = \text{PV}_{\text{total}}\cdot\left(\frac{A}{P},0{,}02,5\right)
\text{CAE}_{\text{trocar}} \approx 1946{,}351159 \times 0{,}212146 \approx 412{,}917\ldots
Arredondando para centavos: \text{CAE}_{\text{trocar}} \approx \(\$ 412{,}92) por ano.
Explicação breve: esse valor significa que gastar \$412{,}92 por ano durante 5 anos tem o mesmo efeito financeiro (valor presente) que pagar \$1230 no ano 0 e os custos operacionais dados nos anos 1 a 5.

Passo 7

Calcular o CAE da alternativa “não trocar”:
  • A alternativa “não trocar” não tem investimento inicial segundo o enunciado; tem apenas custo operacional uniforme de \$450 por ano.
  • Como esse custo já é uma anuidade uniforme, o CAE é exatamente:
\text{CAE}_{\text{não trocar}} = \$450{,}00\\ \text{por ano}.ã
(Se quiséssemos, poderíamos transformar esse fluxo uniforme em PV e depois recuperar, mas o resultado final é o mesmo: CAE = anualidade dada.)

Passo 8

Comparação e decisão:
  • Temos \text{CAE}_{\text{trocar}} \approx \$412{,}92/\text{ano}.
  • Temos \text{CAE}_{\text{não trocar}} = \$450{,}00/\text{ano}ã.
  • Como \text{CAE}_{\text{trocar}} < \text{CAE}_{\text{não trocar}}ã, trocar a bomba resulta em menor custo anual equivalente e portanto é economicamente vantajoso substituir a bomba.
Motivação final (como você usaria isso na prova): calcule o PV dos custos da alternativa com investimento e o converta para anuidade; compare com a anuidade da alternativa sem investimento. A menor anuidade indica a melhor alternativa.

Resposta

\text{CAE}_{\text{trocar}} \approx \$ 412{,}92\\ \text{por ano}
\text{CAE}_{\text{não trocar}} = \$ 450{,}00\\ \text{por ano}ã
Decisão: substituir a bomba (trocar).

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