Uma bomba hidráulica instalada em um poço artesiano tem custos operacionais de \ 450 /ano, considerados muito altos para o tipo de instalação. Trocá-la por um equipamento mais moderno representaria um investimento líquido de$1.230$ sem valor residual. Uma projeção indica que a nova bomba teria os seguintes custos operacionais/ano ao longo de sua vida útil:
\underline{\text { ano } 0}
\underline{\text { ano } 1}
\underline{\text { ano } 2}
\underline{\text { ano } 3}
\underline{\text { ano } 4}
\underline{\text { ano } 5}
custos operacionais:
0
\ 250&$200&$ 150&$100&$ 50$
Considerando um custo de oportunidade do capital de 2 \% a.a., calcular o custo anual uniforme equivalente (CAE) das duas alternativas (trocar e não trocar a bomba) e determinar se a bomba deve ou não ser substituída. Não levar em consideração efeitos fiscais.
Passo 1
O que o problema pede:
Calcular o custo anual uniforme equivalente (CAE) da alternativa “não trocar a bomba” e da alternativa “trocar a bomba”.
Decidir se a bomba deve ou não ser substituída com base nesses CAE.
Informações fornecidas (listei tudo o que o enunciado deu):
Custo operacional atual se não trocar: \$ 450 por ano (assumimos que isso é um valor anual recorrente).
Investimento líquido para trocar a bomba no ano 0: \$ 1.230 (sem valor residual).
Custos operacionais da nova bomba por ano:
ano 0: \$ 0 (o investimento já foi no ano 0)
ano 1: \$ 250
ano 2: \$ 200
ano 3: \$ 150
ano 4: \$ 100
ano 5: \$ 50
Vida útil da nova bomba: 5 anos (dados até ano 5).
Custo de oportunidade do capital: 2\% a.a. (i=2\%).
Observação importante (do tipo que costuma aparecer em prova): o enunciado dá a vida útil da nova bomba (5 anos). Para comparar as alternativas usamos como horizonte de análise esse mesmo período de 5 anos (método padrão em economia de engenharia quando uma alternativa tem vida limitada). Não consideramos efeitos fiscais (já pedido).
Passo 2
Plano e conceito — o que é CAE e como vamos calcular:
CAE (custo anual equivalente) é a quantia anual fixa que, ao longo do horizonte de análise, tem o mesmo valor presente que todos os custos (investimento inicial + custos operacionais) da alternativa.
Procedimento prático que vou usar:
Calcular o valor presente (PV) de todos os custos da alternativa “trocar” (investimento em ano 0 + soma dos custos operacionais descontados ao ano 0).
Converter esse valor presente para um equivalente anual uniforme usando o fator de recuperação de capital (A/P).
Fórmulas que usaremos:
Desconto de um custo C_t no tempo t para o presente:\text{PV de }C_t = \frac{C_t}{(1+i)^t},onde i é a taxa de juros (i=0{,}02 neste problema) e t é o ano (inteiro).
Soma dos PVs dos custos operacionais:\text{PV}_{\text{ops}} = \sum_{t=1}^{5} \frac{C_t}{(1+i)^t}.
Valor presente total da alternativa “trocar”:\text{PV}_{\text{total}} = 1230 + \text{PV}_{\text{ops}},onde \$1230 é o investimento no ano 0.
Fator de recuperação de capital (A/P) para transformar PV em uma anuidade para n anos:\left(\frac{A}{P},i,n\right)=\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}.Esse fator multiplica o PV para obter a anuidade A (o CAE).
Arredondando para centavos: \text{CAE}_{\text{trocar}} \approx \(\$ 412{,}92) por ano.
Explicação breve: esse valor significa que gastar \$412{,}92 por ano durante 5 anos tem o mesmo efeito financeiro (valor presente) que pagar \$1230 no ano 0 e os custos operacionais dados nos anos 1 a 5.
Passo 7
Calcular o CAE da alternativa “não trocar”:
A alternativa “não trocar” não tem investimento inicial segundo o enunciado; tem apenas custo operacional uniforme de \$450 por ano.
Como esse custo já é uma anuidade uniforme, o CAE é exatamente:
Como \text{CAE}_{\text{trocar}} < \text{CAE}_{\text{não trocar}}ã, trocar a bomba resulta em menor custo anual equivalente e portanto é economicamente vantajoso substituir a bomba.
Motivação final (como você usaria isso na prova): calcule o PV dos custos da alternativa com investimento e o converta para anuidade; compare com a anuidade da alternativa sem investimento. A menor anuidade indica a melhor alternativa.