Atualmente a operação de um equipamento produz uma receita líquida de \ 200 / ano. Existe a possibilidade de trocá-lo por um novo equipamento orçado emáç$4.800$ com vida útil de cinco anos e sem valor residual. No caso da troca de equipamentos, o fluxo de caixa líquido aumentará geometricamente nos próximos cinco anos de acordo à seguinte projeção:
\underline{\text { ano 0 }} \underline{\text { ano 1 }} \underline{\text { ano 2 }} \underline{\text { ano 3 }} \underline{\text { ano 4 }} \underline{\text { ano 5 }}
Fluxo de caixa: -\ 4.800 &$200 &$ 400 &$800 &$ 1.600 &$3.200$
Considerando um custo de oportunidade do capital de 5 \% a.a., calcular as anuidades uniformes equivalentes (AE) para as duas alternativas (trocar e não trocar o equipamento) e determinar se o equipamento deve ou não ser substituído. Por simplicidade, não considerar efeitos fiscais.

Passo 1

O enunciado dá duas alternativas: manter o equipamento atual ou trocá‑lo por um novo. As informações relevantes são:
  • Fluxo atual (se não trocar): recebe \$\,200 por ano (assumimos esse valor anual constante pelos próximos 5 anos, para comparar com a alternativa de 5 anos).
  • Alternativa trocar: investimento inicial (ano 0) de -\$\,4.800 e fluxos nos anos 1 a 5 conforme a tabela (dados do enunciado): \begin{array}{c|ccccc} \text{ano} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline \text{fluxo} & \$\,200 & \$\,400 & \$\,800 & \$\,1.600 & \$\,3.200 \end{array}Obs.: peguei esses valores da tabela do enunciado.
  • Taxa de custo de capital: i=5\% ao ano, isto é, i=0{,}05.
  • Vida útil considerada para o novo equipamento: n=5 anos, sem valor residual.
  • O que pedem: calcular as anuidades uniformes equivalentes (AE) das duas alternativas (trocar e não trocar) e decidir se devo trocar o equipamento (comparar AE e escolher a alternativa com maior AE).

Passo 2

Estratégia e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
  • Queremos converter cada alternativa a uma anuidades uniformes equivalentes (AE) sobre n=5 anos à taxa i. A AE é um valor anual constante que tem o mesmo valor presente que o fluxo original (ou seja, transforma o projeto em uma “renda anual equivalente”).
  • Se P é o valor presente, a conversão para AE usa o fator de recuperação de capital (A/P,i,n). A fórmula é
    (A/P,i,n)=\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}.
    Então
    AE = P\cdot (A/P,i,n).
    Aqui:
    • i é a taxa periódica (aqui 0{,}05).
    • n é o número de períodos (aqui 5).
    • P é o valor presente do fluxo (soma dos fluxos descontados ao tempo zero).
  • Para fluxos homogêneos ( C constante cada ano), o valor presente é
    P = C\cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i},
    e se já temos C uniforme, a AE será igual a C (cheque lógico).
  • Para o fluxo crescente (no caso da troca, que cresce geometricamente), calculamos P somando cada fluxo descontado:
    P=\sum_{t=1}^{5}\frac{F_t}{(1+i)^t}.
    Podemos também usar a fórmula de série geométrica para acelerar, mas aqui vou mostrar os termos e somar explicitamente (é pedagogicamente mais claro).

Passo 3

Calcular o fator de conversão (A/P,i,n) para i=0{,}05 e n=5.
Primeiro calcule (1+i)^n=(1{,}05)^5. Temos
(1{,}05)^5=1{,}2762815625.
Então
(A/P,0{,}05,5)=\frac{0{,}05\cdot 1{,}2762815625}{1{,}2762815625-1} =\frac{0{,}063814078125}{0{,}2762815625}\approx 0{,}230975.
Vou usar (A/P)=0{,}230975 (valor com precisão suficiente para a prova).

Passo 4

Anuidade equivalente da alternativa “não trocar” (manter o equipamento):
O fluxo é uniforme \$\,200 em cada ano (anos 1 a 5). Como é uniforme, a AE é exatamente esse valor, mas vou mostrar via valor presente para treinar a técnica.
Valor presente dos cinco pagamentos de \$\,200:
P_{\text{manter}}=200\cdot\frac{1-(1{,}05)^{-5}}{0{,}05}.
Calculando (1{,}05)^{-5}=0{,}783526166, temos
\frac{1-(1{,}05)^{-5}}{0{,}05}=\frac{1-0{,}783526166}{0{,}05}= \frac{0{,}216473834}{0{,}05}=4{,}32947668.
Logo
P_{\text{manter}}=200\cdot 4{,}32947668\approx 865{,}90.
Agora convertemos esse P em AE:
AE_{\text{manter}}=P_{\text{manter}}\cdot (A/P)=865{,}90\cdot 0{,}230975\approx 200{,}00.
Observação intuitiva: faz sentido que AE_{\text{manter}}=\$\,200{,}00 porque o fluxo já era uniforme. Vou apresentar o valor final formatado com centavos: \$\,200{,}00 por ano.

Passo 5

Calcular o valor presente dos fluxos da alternativa “trocar” (descontando cada fluxo ao tempo 0).
Os fluxos de entrada são (anos 1 a 5): \$\,200,\\ \$\,400,\\ \$\,800,\\ \$\,1.600,\\ \$\,3.200.
Descontando cada termo com 1{,}05^t:
\begin{aligned} \frac{200}{(1{,}05)^1}&= \frac{200}{1{,}05}\approx 190{,}4761904762,\\[4pt] \frac{400}{(1{,}05)^2}&= \frac{400}{1{,}1025}\approx 362{,}8117913832,\\[4pt] \frac{800}{(1{,}05)^3}&= \frac{800}{1{,}157625}\approx 691{,}0700788248,\\[4pt] \frac{1600}{(1{,}05)^4}&= \frac{1600}{1{,}21550625}\approx 1\,316{,}323958,\\[4pt] \frac{3200}{(1{,}05)^5}&= \frac{3200}{1{,}2762815625}\approx 2\,507{,}2837312. \end{aligned}
Somando esses valores obtemos o valor presente dos recebimentos:
P_{\text{recebimentos}} \approx 190{,}4761905+362{,}8117914+691{,}0700788+1\,316{,}323958+2\,507{,}2837312 \approx 5\,067{,}9657499.
O investimento inicial (ano 0) é -\$\,4.800. Portanto o valor presente líquido (PV total) do projeto “trocar” é
P_{\text{trocar}} = -4\,800 + 5\,067{,}9657499 \approx 267{,}9657499.
(Arredondei onde necessário; guardei precisão razoável para o cálculo seguinte.)]

Passo 6

Converter o P_{\text{trocar}} em AE usando o fator (A/P) calculado no Passo 3.
AE_{\text{trocar}} = P_{\text{trocar}}\cdot (A/P,0{,}05,5) \approx 267{,}9657499\cdot 0{,}230975 \approx 61{,}89.
Portanto a anuidade equivalente da alternativa de troca é aproximadamente \$\,61{,}89 por ano (positivo, ou seja, a troca gera benefício anual equivalente de cerca de \$\,61{,}89 ).

Passo 7

Comparação e decisão:
  • AE_{\text{manter}}=\$\,200{,}00 por ano.
  • AE_{\text{trocar}}=\$\,61{,}89 por ano.
Escolha econômica: prefere‑se a alternativa com maior AE (maior benefício anual equivalente). Aqui \$\,200{,}00>\$\,61{,}89, portanto é melhor não trocar o equipamento.
Motivação curta: mesmo com o investimento e os fluxos crescentes, o aumento projetado não compensa o alto custo inicial quando trazido a termo anual; manter o equipamento atual dá mais benefício anual equivalente.

Resposta

AE (trocar) = \$\,61{,}89 por ano
AE (não trocar) = \$\,200{,}00 por ano
Decisão: não substituir o equipamento (manter).

Exercícios relacionados