Atualmente a operação de um equipamento produz uma receita líquida de \ 200 /ano. Existe a possibilidade de trocá-lo por um novo equipamento orçado em$4.800$ com vida útil de cinco anos e sem valor residual. No caso da troca de equipamentos, o fluxo de caixa líquido aumentará geometricamente nos próximos cinco anos de acordo à seguinte projeção:
\underline{\text { ano 0 }}
\underline{\text { ano 1 }}
\underline{\text { ano 2 }}
\underline{\text { ano 3 }}
\underline{\text { ano 4 }}
\underline{\text { ano 5 }}
Fluxo de caixa:
-\ 4.800&$200&$ 400&$800&$ 1.600&$3.200$
Considerando um custo de oportunidade do capital de 5 \% a.a., calcular as anuidades uniformes equivalentes (AE) para as duas alternativas (trocar e não trocar o equipamento) e determinar se o equipamento deve ou não ser substituído. Por simplicidade, não considerar efeitos fiscais.
Passo 1
O enunciado dá duas alternativas: manter o equipamento atual ou trocá‑lo por um novo. As informações relevantes são:
Fluxo atual (se não trocar): recebe \$\,200 por ano (assumimos esse valor anual constante pelos próximos 5 anos, para comparar com a alternativa de 5 anos).
Alternativa trocar: investimento inicial (ano 0) de -\$\,4.800 e fluxos nos anos 1 a 5 conforme a tabela (dados do enunciado):\begin{array}{c|ccccc} \text{ano} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\hline \text{fluxo} & \$\,200 & \$\,400 & \$\,800 & \$\,1.600 & \$\,3.200 \end{array}Obs.: peguei esses valores da tabela do enunciado.
Taxa de custo de capital: i=5\% ao ano, isto é, i=0{,}05.
Vida útil considerada para o novo equipamento: n=5 anos, sem valor residual.
O que pedem: calcular as anuidades uniformes equivalentes (AE) das duas alternativas (trocar e não trocar) e decidir se devo trocar o equipamento (comparar AE e escolher a alternativa com maior AE).
Passo 2
Estratégia e fórmulas que vamos usar (explicadas com calma):
Queremos converter cada alternativa a uma anuidades uniformes equivalentes (AE) sobre n=5 anos à taxa i. A AE é um valor anual constante que tem o mesmo valor presente que o fluxo original (ou seja, transforma o projeto em uma “renda anual equivalente”).
Se P é o valor presente, a conversão para AE usa o fator de recuperação de capital (A/P,i,n). A fórmula é
(A/P,i,n)=\frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1}.
Então
AE = P\cdot (A/P,i,n).
Aqui:
i é a taxa periódica (aqui 0{,}05).
n é o número de períodos (aqui 5).
P é o valor presente do fluxo (soma dos fluxos descontados ao tempo zero).
Para fluxos homogêneos (C constante cada ano), o valor presente é
P = C\cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i},
e se já temos C uniforme, a AE será igual a C (cheque lógico).
Para o fluxo crescente (no caso da troca, que cresce geometricamente), calculamos P somando cada fluxo descontado:
P=\sum_{t=1}^{5}\frac{F_t}{(1+i)^t}.
Podemos também usar a fórmula de série geométrica para acelerar, mas aqui vou mostrar os termos e somar explicitamente (é pedagogicamente mais claro).
Passo 3
Calcular o fator de conversão (A/P,i,n) para i=0{,}05 e n=5.
Vou usar (A/P)=0{,}230975 (valor com precisão suficiente para a prova).
Passo 4
Anuidade equivalente da alternativa “não trocar” (manter o equipamento):
O fluxo é uniforme \$\,200 em cada ano (anos 1 a 5). Como é uniforme, a AE é exatamente esse valor, mas vou mostrar via valor presente para treinar a técnica.
Observação intuitiva: faz sentido que AE_{\text{manter}}=\$\,200{,}00 porque o fluxo já era uniforme. Vou apresentar o valor final formatado com centavos: \$\,200{,}00 por ano.
Passo 5
Calcular o valor presente dos fluxos da alternativa “trocar” (descontando cada fluxo ao tempo 0).
Os fluxos de entrada são (anos 1 a 5): \$\,200,\\ \$\,400,\\ \$\,800,\\ \$\,1.600,\\ \$\,3.200.
Descontando cada termo com 1{,}05^t:
Portanto a anuidade equivalente da alternativa de troca é aproximadamente \$\,61{,}89 por ano (positivo, ou seja, a troca gera benefício anual equivalente de cerca de \$\,61{,}89 ).
Passo 7
Comparação e decisão:
AE_{\text{manter}}=\$\,200{,}00 por ano.
AE_{\text{trocar}}=\$\,61{,}89 por ano.
Escolha econômica: prefere‑se a alternativa com maior AE (maior benefício anual equivalente). Aqui \$\,200{,}00>\$\,61{,}89, portanto é melhor não trocar o equipamento.
Motivação curta: mesmo com o investimento e os fluxos crescentes, o aumento projetado não compensa o alto custo inicial quando trazido a termo anual; manter o equipamento atual dá mais benefício anual equivalente.
Resposta
AE (trocar) = \$\,61{,}89 por ano
AE (não trocar) = \$\,200{,}00 por ano
Decisão: não substituir o equipamento (manter).