Uma empresa cujo custo de oportunidade do capital é de 7 \% a.a., estuda a possibilidade de comprar uma máquina. Pode escolher entre a máquina A e a máquina B , ela dispõe das seguintes informações sobre as alternativas de investimento:
máquina A
Investimento inicial \ 19.000$ & \ Fluxo de Caixa & \ 12.000 / ano &$2.000$
Vida útil 4 anos
Valor Residual 0
Vanos
0 0
Para as duas alternativas de investimento calcular: a) O Valor Presente Líquido; b) A Taxa Interna de Retorno; c) Anuidade uniforme equivalente e determinar qual projeto é preferível.

Passo 1

O enunciado fornece que a empresa tem custo de oportunidade do capital de 7\% ao ano e que pode escolher entre duas máquinas (A e B). Pede para cada alternativa calcular:
a) o Valor Presente Líquido (VPL ou NPV); b) a Taxa Interna de Retorno (TIR ou IRR); c) a Anuidade Uniforme Equivalente (AUE, também chamada de EAA — equivalente anual). Em seguida, determinar qual projeto é preferível.
Informações fornecidas na tabela (copiadas do enunciado):
  • Custo de capital: \;7\% a.a.
  • Máquina A:
    • Investimento inicial: \$\,19.000
    • Fluxo de caixa: \$\,12.000 por ano (presumivelmente para cada um dos anos)
    • Vida útil: 4 anos
    • Valor residual: \$\,0
  • Máquina B: a tabela está ambígua/insuficiente no enunciado que você mandou. No trecho da tabela aparece um valor \$\,2.000 na linha “Fluxo de Caixa”, mas não está claro qual é o investimento inicial de B, sua vida útil, nem o valor residual (essas células parecem ter sido perdidas/omitidas). Isso significa que NÃO HÁ INFORMAÇÃO COMPLETA para calcular NPV, IRR e AUE de B.
Conclusão do passo: todos os itens pedidos podem ser calculados para a máquina A (dados completos). Para a máquina B faltam dados essenciais (pelo menos o investimento inicial e a vida útil); portanto não é possível calcular as métricas de B sem informação adicional.

Passo 2

Conceitos e fórmulas — faço uma mini-aula para você poder aplicar na prova.
  1. Valor Presente Líquido (VPL / NPV)
  • Ideia: trazer todos os fluxos futuros ao valor presente usando a taxa de desconto r (custo de capital) e somar, subtraindo o investimento inicial.
  • Fórmula (quando há uma renda anual constante R por n anos e valor residual S no fim do ano n):
\text{VPL} \;=\; -I_0 \;+\; R\cdot\frac{1-(1+r)^{-n}}{r} \;+\; S\cdot(1+r)^{-n},
onde:
  • I_0 = investimento inicial (valor gasto no tempo zero),
  • R = fluxo de caixa anual periódico (receita líquida por ano),
  • r = taxa de desconto por período (aqui r=7\%),
  • n = número de períodos (anos),
  • S = valor residual (salvage) no final da vida.
A parcela \dfrac{1-(1+r)^{-n}}{r} é o fator de valor presente de uma anuidade (PVIFA).
  1. Taxa Interna de Retorno (TIR / IRR)
  • Ideia: é a taxa i que torna o VPL igual a zero. Para anuidade constante:
0 = -I_0 + R\cdot\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} + S\cdot(1+i)^{-n}.
  • Em geral precisa-se resolver numericamente (tentativas, interpolação, método da bisseção) porque a equação é não linear.
  1. Anuidade Uniforme Equivalente (AUE / EAA)
  • Ideia: transforma o VPL (um valor presente) em um valor anual constante que representa o mesmo benefício/custo anual.
  • Fórmula de conversão do VPL para uma anuidade equivalente:
\text{AUE} \;=\; \text{VPL}\cdot\frac{r}{1-(1+r)^{-n}}.
  • Alternativamente, se preferir ver operacionalmente: calcule a “recuperação anual do capital” (fator de capitalização invertido)
A\;=\;\frac{r}{1-(1+r)^{-n}},
então a anuidade líquida do projeto também pode ser obtida por
\text{AUE} \;=\; R \;-\; I_0\cdot A \quad(\text{quando }S=0\text{ e }R\text{ é o recebimento anual}).é
  • Interpretação: AUE dá o valor que o projeto adiciona por ano, em termos equivalentes, considerando a taxa r. Para comparar projetos com vidas diferentes convertemos cada VPL em AUE e comparamos as anuidades.
Observação prática para prova: sempre coloque os números na fórmula, calcule o fator (1+r)^{-n} com algumas casas decimais, calcule o PVIFA, etc. Mostro isso no próximo passo aplicando à máquina A.

Passo 3

Cálculo do VPL (NPV) da máquina A, passo a passo.
Dados para A:
I_0 = \$\,19.000,\quad R = \$\,12.000,\quad n=4,\quad S=\$\,0,\quad r=7\%=0,07.
Primeiro calcule (1+r)^{-n}:
(1+0,07)^{4} = 1{,}07^{4} \approx 1{,}31079601,
(1+0,07)^{-4} \;=\; \frac{1}{1{,}31079601} \approx 0{,}762895.
Agora o fator PVIFA:
\frac{1-(1+r)^{-n}}{r} \;=\; \frac{1-0{,}762895}{0{,}07} \;=\; \frac{0{,}237105}{0{,}07} \approx 3{,}3872142857.
Valor presente dos fluxos anuais:
R\cdot\text{PVIFA} \;=\; 12.000 \times 3{,}3872142857 \approx \$\,40.646{,}5714.
Como S=0, VPL:
\text{VPL}_A \;=\; -19.000 + 40.646{,}5714 \approx \$\,21.646{,}5714.
Arredondando para centavos:
\text{VPL}_A \approx \$\,21.646{,}57.
Interpretação rápida: o projeto A gera um valor presente líquido positivo de cerca de \$\,21{.}647 ao custo de capital de 7\%, portanto é lucrativo em relação à alternativa de não investir (aceitável isoladamente).

Passo 4

Cálculo da TIR (IRR) da máquina A — método e iterações.
Queremos a taxa i tal que:
0 = -19.000 + 12.000\cdot\frac{1-(1+i)^{-4}}{i}.
Rearranjando:
\frac{1-(1+i)^{-4}}{i} \;=\; \frac{19.000}{12.000} \;=\; 1{,}583333\ldots
Agora encontramos i que satisfaz essa equação. Como não há fórmula fechada simples, usamos tentativas:
  • Teste i=0{,}50 (50%):
\frac{1-(1+0{,}50)^{-4}}{0{,}50} \;=\; \frac{1-(1{,}5)^{-4}}{0{,}50}.
Calcule 1{,}5^{4}=5{,}0625\Rightarrow (1{,}5)^{-4}=0{,}19753086.
\text{PVIFA}_{50\%}=\frac{1-0{,}19753086}{0{,}50}=\frac{0{,}80246914}{0{,}50}=1{,}60493828.
Isso é ligeiramente maior que 1{,}583333; precisamos de i um pouco maior.
  • Teste i=0{,}51 (51%):
    Calcule 1{,}51^{4}. Uma forma prática é usar uma calculadora ou aproximar; fazendo o cálculo:
    1{,}51^{2}=2{,}2801, 1{,}51^{4}=(1{,}51^{2})^{2}=2{,}2801^{2}\approx 5{,}19885601.
    (1{,}51)^{-4}\approx 0{,}192327.
\text{PVIFA}_{51\%}=\frac{1-0{,}192327}{0{,}51}=\frac{0{,}807673}{0{,}51}\approx 1{,}583086.
Esse valor está muito próximo de 1{,}583333. Podemos interpolar ou aceitar aproximação.
Resultado: a TIR fica aproximadamente i\approx 51{,}0\%.
Conclusão: \text{TIR}_A \approx 51{,}0\%, muito maior que o custo de capital 7\%, reforçando que o projeto é atraente.

Passo 5

Cálculo da Anuidade Uniforme Equivalente (AUE) para a máquina A — duas maneiras (mostro as duas para você escolher a que achar mais cômoda na prova).
Método 1 — converter VPL em anuidade:
  • Fator de conversão (fator de recuperação anual, também chamado de capital recovery factor):
A \;=\; \frac{r}{1-(1+r)^{-n}}.
Com r=0{,}07 e já tendo (1+r)^{-n}\approx 0{,}762895, temos
A \;=\; \frac{0{,}07}{1-0{,}762895} \;=\; \frac{0{,}07}{0{,}237105} \approx 0{,}295150133.
Então
\text{AUE}_A \;=\; \text{VPL}_A \times A \approx 21.646{,}5714 \times 0{,}295150133 \approx \$\,6.392{,}15.
Método 2 — anuidade líquida direta (mais intuitiva): anuidade recebida menos recuperação anual do investimento:
\text{AUE}_A \;=\; R \;-\; I_0\cdot A \;=\; 12.000 - 19.000\times 0{,}295150133.
Calcule 19.000\times 0{,}295150133 \approx 5.607{,}85. Então
\text{AUE}_A \approx 12.000 - 5.607{,}85 \approx \$\,6.392{,}15,
mesmo resultado (diferenças pequenas por arredondamento). Interpretação: a máquina A equivale a um ganho líquido anual de aproximadamente \$\,6.392{,}15 quando avaliada à taxa de 7\%.

Passo 6

Decisão de preferência entre os projetos com os dados disponíveis.
  • Para a máquina A temos:
    • \text{VPL}_A \approx \$\,21.646{,}57 (positivo),
    • \text{TIR}_A \approx 51{,}0\% (muito maior que 7\%),
    • \text{AUE}_A \approx \$\,6.392{,}15.
Isso indica que, isoladamente, a máquina A é um bom investimento frente ao custo de capital de 7\%.
  • Para comparar A com B e dizer qual projeto é preferível, precisamos dos mesmos indicadores para B. Porém, como mencionei no Passo 1, os dados de B no enunciado estão incompletos/ambíguos (não há, pelo que foi enviado, o investimento inicial de B e a vida útil claramente especificada). Assim, NÃO É POSSÍVEL determinar de forma confiável qual projeto é preferível entre A e B com os dados incompletos. Se você me passar os dados faltantes de B (pelo menos: investimento inicial I_0, fluxos anuais R ou padrão dos fluxos, vida n e valor residual S), eu calculo os mesmos indicadores e faço a comparação direta (ou uso AUE se as vidas forem diferentes).

Resposta

Máquina A — \text{VPL}_A \approx \$\,21.646{,}57
Máquina A — \text{TIR}_A \approx 51{,}0\%
Máquina A — \text{AUE}_A \approx \$\,6.392{,}15
Máquina B — não é possível determinar (falta(m) de dados: investimento inicial e vida útil / outros detalhes necessários).

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