Uma empresa industrial pretende terceirizar durante três anos a fabricação de determinada peça. Se for fabricada internamente, um estudo mostrou que para produzir 8.000 peças/ano é necessário um investimento inicial de \ 200.000 em equipamentos e custos operacionais totais de$18.000 /ano. Se a fabricação for terceirizada, o preço de compra será deçãçá$ 12 / peça. Considerando um custo do capital deç8 %$ a.a., determinar se a fabricação da peça deve ou não ser terceirizada.

Passo 1

Enunciado resumido e dados fornecidos:
  • Horizonte de análise: 3 anos.
  • Produção anual: 8{,}000 peças/ano.
  • Se fabricar internamente:
    • Investimento inicial em equipamentos: \$\,200{,}000 (ocorre no tempo zero).
    • Custos operacionais: \$\,18{,}000 por ano (anuidades iguais nos anos 1, 2 e 3).
  • Se terceirizar:
    • Preço de compra: \$\,12 por peça.
    • Logo, custo anual de compra = \$\,12 \times 8{,}000 = \$\,96{,}000 por ano (anos 1, 2 e 3).
  • Taxa de desconto (custo de capital): 8\% a.a.
    Pergunta que o enunciado faz:
  • Determinar se a fabricação deve ser terceirizada ou não, ou seja, escolher a alternativa (interno ou terceirizado) que gera menor custo econômico ao longo dos 3 anos considerando 8\% a.a.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática da matemática financeira básica):
  • Para comparar os dois caminhos precisamos trazer todos os custos para uma mesma base de tempo. Uma escolha comum é comparar o valor presente (PV) dos fluxos de caixa ao tempo zero.
  • Valor presente de uma anuidade uniforme (mesmo valor anual A por n anos) é dado por:
P = A \cdot \frac{1 - (1+i)^{-n}}{i},
onde:
  • P é o valor presente da anuidade,
  • A é o valor cobrado/recebido a cada ano (anos 1 a n),
  • i é a taxa de juros por período (aqui i=0,08),
  • n é o número de períodos (aqui n=3).
  • Intuição rápida: essa fórmula soma pagamentos anuais descontados: P = A\big/(1+i) + A\big/(1+i)^2 + \dots + A\big/(1+i)^n. Usando a soma de uma série geométrica chega-se à fórmula acima.
  • Vamos aplicar essa fórmula para transformar os custos anuais em um único número equivalente em tempo zero e somar (quando houver) qualquer investimento inicial no tempo zero.

Passo 3

Calcular o fator \dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i} para i=0{,}08 e n=3:
  • Primeiro calcule (1+i)^n = (1{,}08)^3.
(1{,}08)^3 = 1{,}259712.
  • Em seguida calcule (1+i)^{-n} = \dfrac{1}{1{,}259712} \approx 0{,}793832241. \] - Agora o fator: \[\frac{1-(1+i)^{-n}}{i} = \frac{1 - 0{,}793832241}{0{,}08} = \frac{0{,}206167759}{0{,}08} \approx 2{,}5770969875.\]

Passo 4

Calcular o valor presente (PV) da alternativa de fabricar internamente:
  • Há um investimento inicial imediato de \$\,200{,}000 (já em t=0).
  • Há também custos operacionais anuais de \$\,18{,}000 nos anos 1 a 3. O PV desses custos é:
PV_{\text{oper}} = 18{,}000 \times 2{,}5770969875 \approx 46{,}387{,}745775.
  • Somando o investimento inicial:
PV_{\text{interno}} = 200{,}000 + 46{,}387{,}745775 \approx 246{,}387{,}745775.
  • Arredondando para centavos:
PV_{\text{interno}} \approx \$\,246{,}387{,}75.

Passo 5

Calcular o valor presente (PV) da alternativa de terceirizar (comprar):
  • O custo anual de compra é \$\,96{,}000 nos anos 1 a 3 (obtido de 12\times 8{,}000; este dado foi fornecido no enunciado e calculado no Passo 1).
  • O PV desses pagamentos é:
PV_{\text{terceirizar}} = 96{,}000 \times 2{,}5770969875 \approx 247{,}401{,}3108.
  • Arredondando para centavos:
PV_{\text{terceirizar}} \approx \$\,247{,}401{,}31.

Passo 6

Comparação das duas alternativas e decisão:
  • Temos:
    • \displaystyle PV_{\text{interno}} \approx \$\,246{,}387{,}75.
    • \displaystyle PV_{\text{terceirizar}} \approx \$\,247{,}401{,}31.
  • A fabricação interna apresenta menor valor presente por aproximadamente:
\$\,247{,}401{,}31 - \$\,246{,}387{,}75 \approx \$\,1{,}013{,}56,
ou seja, fabricar internamente é mais econômico por cerca de \$\,1{,}013{,}56 em valor presente ao longo dos 3 anos.
  • Conclusão: não terceirizar; a opção economicamente preferível é fabricar internamente.

Passo 7

Verificação alternativa pelo método do custo anual equivalente (A.E.):
  • Fator de recuperação de capital (A/P) é o inverso do fator P/A:
\frac{A}{P} = \frac{i(1+i)^n}{(1+i)^n - 1} \approx 0{,}3889\\ \text{(aprox.)}.
  • Recuperação anual do investimento inicial:
A_{\text{cap}} = 200{,}000 \times 0{,}3889 \approx \$\,77{,}783{,}00\\ (\text{aprox.}).
  • Custo anual equivalente interno:
AE_{\text{interno}} = A_{\text{cap}} + 18{,}000 \approx 77{,}783 + 18{,}000 = \$\,95{,}783\\ (\text{aprox.}).
  • Custo anual equivalente terceirizado:
AE_{\text{terceirizar}} = 96{,}000.
  • Como AE_{\text{interno}} \approx 95{,}783 < 96{,}000, a verificação confirma que fabricar internamente é a melhor opção economicamente.

Resposta

Não terceirizar — fabricar internamente. \
Valor presente fabricar internamente: \$\,246{,}387{,}75. \
Valor presente terceirizar: \$\,247{,}401{,}31.

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