Problema 3 ( 2,5 Pts), Um trenó - foguete tem massa inicial de 4 toneladas, incluindo uma tonelada de combustivel. resistência ao movimento na pista sobre a qual o trenó progride e a do ar totalizam kU , onde k é
, e U é velocidade do trenó
. A velocidade de saída dos gases de descarga relativa ao foguete é de
, e a pressi é a atmosférica. A queima de combustível dá-se à taxa de
. Calcule a velocidade do trenó após 10 s .
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que pede. Pergunta: calcular a velocidade do trenó após
s de queima do combustível. Dados relevantes (peguei todos do enunciado):
Observações que uso: a pressão externa é atmosférica (então não há empuxo adicional de pressões), e assumo que o trenó parte do repouso, isto é
(isso é padrão neste tipo de exercício se não disser o contrário). A pergunta é: qual é
?
Passo 2
Montando a equação do movimento (intuição física e sinal): quando o foguete ejeta massa a taxa
, essa ejeção gera um empuxo (força de reação) de magnitude
na direção do movimento. A resistência é
e atua no sentido contrário à velocidade. A massa do trenó varia com o tempo:
A equação de conservação do momentum para corpo de massa variável (forma prática usada em problemas de foguetes) dá a equação diferencial:
Aqui expliquei cada termo:
é a variação do momento do trenó;
é a força motriz (empuxo) produzida pela ejeção de massa;
é a força resistente. Note que
é a magnitude da massa ejetada por segundo e
.
Passo 3
Colocando a equação na forma padrão de equação linear de 1ª ordem:
Essa é da forma
com
e
. Para resolver usamos fator integrante. O fator integrante é
Calcule a integral:
. Assim
Passo 4
Multiplicando a equação por
obtemos:
Substituíndo
e
, o lado direito fica
Integramos dos instantes
a
, usando
:
Como
e
, e fazendo a substituição
(logo
), a integral fica direta. Calculando a primitiva:
Portanto, após realizar a integração e isolar
, obtemos a fórmula fechada
Breve interpretação: o fator
é uma velocidade característica determinada pelo equilíbrio entre empuxo e resistência; o parêntese capta a variação da massa ao longo do tempo.
Passo 5
Agora aplicamos os números. Primeiro calculos auxiliares:
Calcule a fração
:
O expoente é
Agora elevamos
. Uma avaliação numérica (usando logaritmos ou calculadora) dá aproximadamente
Logo o termo entre colchetes é
Finalmente
Passo 6
Comentário final e checagem rápida: após
s a massa é
. O empuxo é
e a resistência estimada em
é
, então o empuxo é maior que a resistência e a velocidade resultante é fisicamente coerente com um valor na casa de centenas de m/s.