Problema 3 ( 2,5 Pts), Um trenó - foguete tem massa inicial de 4 toneladas, incluindo uma tonelada de combustivel. resistência ao movimento na pista sobre a qual o trenó progride e a do ar totalizam kU , onde k é 75 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}, e U é velocidade do trenó \mathrm{em} \mathrm{m} / \mathrm{s}. A velocidade de saída dos gases de descarga relativa ao foguete é de 1500 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e a pressi é a atmosférica. A queima de combustível dá-se à taxa de 90 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. Calcule a velocidade do trenó após 10 s .

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que pede. Pergunta: calcular a velocidade do trenó após 10 s de queima do combustível. Dados relevantes (peguei todos do enunciado):
\begin{aligned} &\text{massa inicial total: } m_0 = 4\\ \text{toneladas} = 4000\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{dessa massa, combustível inicial: } 1\\ \text{tonelada} = 1000\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{taxa de queima (taxa de massa ejectada): } \dot m = 90\\ \mathrm{kg/s},\\\ &\text{velocidade de saída dos gases relativa ao foguete: } u_e = 1500\\ \mathrm{m/s},\\\ &\text{força resistente (pista + ar): } F_{\text{res}} = k U,\\ \text{com } k = 75\\ \mathrm{N\cdot s/m},\\\ &\text{tempo desejado: } t = 10\\ \mathrm{s}. \end{aligned}ííç
Observações que uso: a pressão externa é atmosférica (então não há empuxo adicional de pressões), e assumo que o trenó parte do repouso, isto é U(0)=0 (isso é padrão neste tipo de exercício se não disser o contrário). A pergunta é: qual é U(10)?

Passo 2

Montando a equação do movimento (intuição física e sinal): quando o foguete ejeta massa a taxa \dot m, essa ejeção gera um empuxo (força de reação) de magnitude u_e\dot m na direção do movimento. A resistência é kU e atua no sentido contrário à velocidade. A massa do trenó varia com o tempo:
m(t)=m_0-\dot m\,t.
A equação de conservação do momentum para corpo de massa variável (forma prática usada em problemas de foguetes) dá a equação diferencial:
m(t)\,\frac{dU}{dt}=u_e\dot m - kU.
Aqui expliquei cada termo: m(t)\,dU/dt é a variação do momento do trenó; u_e\dot m é a força motriz (empuxo) produzida pela ejeção de massa; kU é a força resistente. Note que \dot m>0 é a magnitude da massa ejetada por segundo e m'(t)=-\dot m.

Passo 3

Colocando a equação na forma padrão de equação linear de 1ª ordem:
\frac{dU}{dt} + \frac{k}{m(t)}\,U = \frac{u_e\dot m}{m(t)}.
Essa é da forma \dfrac{dU}{dt}+p(t)U=q(t) com p(t)=\dfrac{k}{m(t)} e q(t)=\dfrac{u_e\dot m}{m(t)}. Para resolver usamos fator integrante. O fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right)=\exp\!\left(\int \frac{k}{m_0-\dot m\,t}\,dt\right).
Calcule a integral: \int \dfrac{k}{m_0-\dot m\,t}\,dt = -\dfrac{k}{\dot m}\ln(m_0-\dot m\,t). Assim
\mu(t)=\exp\!\left(-\frac{k}{\dot m}\ln(m_0-\dot m\,t)\right)=(m_0-\dot m\,t)^{-k/\dot m}.

Passo 4

Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos:
\frac{d}{dt}\big(U(t)\mu(t)\big)=\mu(t)\,\frac{u_e\dot m}{m(t)}.
Substituíndo \mu(t)=(m_0-\dot m\,t)^{-k/\dot m} e m(t)=m_0-\dot m\,t, o lado direito fica
\mu(t)\frac{u_e\dot m}{m(t)} = u_e\dot m\,(m_0-\dot m\,t)^{-1-k/\dot m}.
Integramos dos instantes 0 a t, usando U(0)=0:
U(t)\mu(t)-U(0)\mu(0)=\int_{0}^{t} u_e\dot m\,(m_0-\dot m\,s)^{-1-k/\dot m}\,ds.
Como U(0)=0 e \mu(0)=m_0^{-k/\dot m}, e fazendo a substituição y=m_0-\dot m\,s (logo dy=-\dot m\,ds), a integral fica direta. Calculando a primitiva:
\int (m_0-\dot m\,s)^{-1-\alpha}\,ds = \frac{1}{\alpha}\,(m_0-\dot m\,s)^{-\alpha}\quad\text{com }\alpha=\frac{k}{\dot m}.
Portanto, após realizar a integração e isolar U(t), obtemos a fórmula fechada
U(t)=\frac{u_e\,\dot m}{k}\left[1-\left(1-\frac{\dot m\,t}{m_0}\right)^{k/\dot m}\right].
Breve interpretação: o fator \dfrac{u_e\dot m}{k} é uma velocidade característica determinada pelo equilíbrio entre empuxo e resistência; o parêntese capta a variação da massa ao longo do tempo.

Passo 5

Agora aplicamos os números. Primeiro calculos auxiliares:
\frac{u_e\dot m}{k}=\frac{1500\cdot 90}{75}=1500\cdot\frac{90}{75}=1500\cdot1{,}2=1800\\ \mathrm{m/s}.
Calcule a fração \displaystyle 1-\frac{\dot m\,t}{m_0}:
1-\frac{\dot m\,t}{m_0}=1-\frac{90\cdot 10}{4000}=1-\frac{900}{4000}=1-0{,}225=0{,}775.
O expoente é
\frac{k}{\dot m}=\frac{75}{90}=\frac{5}{6}\approx 0{,}833333.
Agora elevamos 0{,}775^{5/6}. Uma avaliação numérica (usando logaritmos ou calculadora) dá aproximadamente
0{,}775^{5/6}\approx 0{,}8085.
Logo o termo entre colchetes é
1-0{,}8085=0{,}1915.
Finalmente
U(10)=1800\times 0{,}1915\approx 344{,}7\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Comentário final e checagem rápida: após 10 s a massa é m(10)=4000-90\cdot10=3100\\ \mathrm{kg}. O empuxo é u_e\dot m=1500\cdot90=135000\\ \mathrm{N} e a resistência estimada em U\approx345\\ \mathrm{m/s} é kU\approx75\cdot345\approx25875\\ \mathrm{N}, então o empuxo é maior que a resistência e a velocidade resultante é fisicamente coerente com um valor na casa de centenas de m/s.

Resposta

U(10)\approx 344{,}7\\ \mathrm{m/s}

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