6.1 Uma bomba centrífuga, com as características H_{m} \times \mathrm{Q} mostradas no quadro a seguir, produziu 50 \mathrm{l} / \mathrm{s}, quando foi instalada numa adutora que interliga dois reservatórios cuja diferença entre os níveis de água é 30,0 \mathrm{m}. Após 20 anos de funcionamento deste sistema, verificou-se que a vazão havia sido reduzida para 40 \mathrm{l} / \mathrm{s} devido ao aumento da perda de carga na tubulação. Desprezando as perdas de carga localizadas, pede-se determinar, após 20 anos de uso, a perda de carga contínua na tubulação e o aumento percentual do coeficiente de perda de carga da fórmula Universal.
Q(\mathrm{l} / \mathrm{s}) 0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0
H_{m}(\mathrm{~m}) 80,0 75,1 69,6 63,6 57,1 50,0 42,4 34,3 25,6

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar, após 20 anos de uso, a perda de carga contínua na tubulação e (2) determinar o aumento percentual do coeficiente de perda de carga da “fórmula Universal”.\n
Dados relevantes fornecidos pelo enunciado e pela tabela (peguei os valores da tabela):
\text{Diferença de níveis entre reservatórios} = 30{,}0\\ \mathrm{m}.çíó
Vazões e alturas manométricas da bomba (extraído da tabela):
Q=50{,}0\\ \mathrm{l/s}\Rightarrow H_{m}=50{,}0\\ \mathrm{m},
Q=40{,}0\\ \mathrm{l/s}\Rightarrow H_{m}=57{,}1\\ \mathrm{m}.
Condição inicial (instalação): a bomba produziu Q=50{,}0\\ \mathrm{l/s}. Depois de 20 anos a vazão caiu para Q=40{,}0\\ \mathrm{l/s}. Desprezam-se perdas localizadas.

Passo 2

Entendendo o equilíbrio bomba–sistema (a ideia essencial para a prova, explicadinha): a operação estacionária ocorre quando a altura fornecida pela bomba (altura manométrica H_{m} dada na tabela) é igual à demanda hidráulica do sistema (diferença de nível entre reservatórios mais as perdas por atrito na tubulação). Em fórmula:
H_{m}(Q) = \Delta z + h_f(Q),
onde:
  • H_{m}(Q) é a altura disponível da bomba para a vazão Q (tabela),
  • \Delta z é a diferença de nível entre reservatórios ( 30{,}0\\ \mathrm{m} aqui),
  • h_f(Q) é a perda de carga contínua por atrito na tubulação para a vazão Q.
    Portanto, para cada condição de operação podemos isolar a perda por atrito:
h_f(Q) = H_{m}(Q) - \Delta z.

Passo 3

Calcule a perda de carga contínua inicial (quando a bomba produzia 50{,}0\\ \mathrm{l/s}). Usando a fórmula do passo anterior:
h_{f,\text{inicial}} = H_{m}(50{,}0) - 30{,}0.
Substituindo H_{m}(50{,}0)=50{,}0\\ \mathrm{m} (da tabela),
h_{f,\text{inicial}} = 50{,}0 - 30{,}0 = 20{,}0\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: originalmente a tubulação dissipava 20{,}0\\ \mathrm{m} de carga quando escoava 50{,}0\\ \mathrm{l/s}.

Passo 4

Calcule a perda de carga contínua após 20 anos (condição final, Q=40{,}0\\ \mathrm{l/s}). Novamente:
h_{f,\text{final}} = H_{m}(40{,}0) - 30{,}0.
Substituindo H_{m}(40{,}0)=57{,}1\\ \mathrm{m} (da tabela),
h_{f,\text{final}} = 57{,}1 - 30{,}0 = 27{,}1\\ \mathrm{m}.
Explicando: depois de 20 anos, para a nova vazão de 40{,}0\\ \mathrm{l/s} a tubulação apresenta 27{,}1\\ \mathrm{m} de perda por atrito.

Passo 5

Agora vamos trabalhar a “fórmula Universal” das perdas: normalmente, para escoamentos em regime turbulento e tubulação fixa, a perda de carga por atrito tem comportamento proporcional ao quadrado da vazão. Isso é frequentemente expressado como:
h_f(Q) = k\,Q^{2},
onde:
  • h_f(Q) é a perda de carga (m),
  • Q é a vazão (escolhemos unidades consistentes: \mathrm{m^{3}/s} ou \mathrm{l/s}; o fator k depende das unidades escolhidas),
  • k é o coeficiente de perda de carga da “fórmula Universal” (unidade: \mathrm{m/(Q\\ unit)^{2}}).\n
    Na prova você deve manter as unidades consistentes ao calcular k. Vou usar \mathrm{m^{3}/s} (padrão SI) para ser formal, mas o resultado percentual independe da unidade porque usamos a mesma unidade nas duas situações.

Passo 6

Converta as vazões para \mathrm{m^{3}/s} e calcule k inicial e final. Conversões:
50{,}0\\ \mathrm{l/s} = 0{,}050\\ \mathrm{m^{3}/s},\qquad 40{,}0\\ \mathrm{l/s} = 0{,}040\\ \mathrm{m^{3}/s}.
Use k = h_f/Q^{2}.
Cálculo de k inicial:
k_{\text{inicial}} = \frac{h_{f,\text{inicial}}}{Q_{\text{inicial}}^{2}} = \frac{20{,}0}{(0{,}050)^{2}}.
Compute:
(0{,}050)^{2} = 0{,}0025,
k_{\text{inicial}} = \frac{20{,}0}{0{,}0025} = 8000\\ \frac{\mathrm{m}}{(\mathrm{m^{3}/s})^{2}}.

Passo 7

Cálculo de k final:
k_{\text{final}} = \frac{h_{f,\text{final}}}{Q_{\text{final}}^{2}} = \frac{27{,}1}{(0{,}040)^{2}}.
Compute:
(0{,}040)^{2} = 0{,}0016,
k_{\text{final}} = \frac{27{,}1}{0{,}0016} = 16937{,}5\\ \frac{\mathrm{m}}{(\mathrm{m^{3}/s})^{2}}.

Passo 8

Calcule o aumento percentual do coeficiente k. A fórmula do aumento percentual é:
\%\\ \text{aumento} = \frac{k_{\text{final}} - k_{\text{inicial}}}{k_{\text{inicial}}}\times 100\%.
Substituindo os valores:
\%\\ \text{aumento} = \frac{16937{,}5 - 8000}{8000}\times 100\% = \frac{8937{,}5}{8000}\times 100\%.
Compute:
\frac{8937{,}5}{8000} = 1{,}1171875,
\%\\ \text{aumento} \approx 111{,}72\%.
Interpretação: o coeficiente k mais que dobrou — um aumento de aproximadamente 111{,}7\%.

Resposta

27{,}1\\ \mathrm{m}\n
111{,}72\\ \%

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