Uma bomba multiestágio fornece \mathrm{Q}=350 \mathrm{gal} / \mathrm{min} e altura total 360 ft com 4 estágios idênticos. Para \mathrm{n}=1750 \mathrm{rpm}, determine ns .
Use a altura por estágio: Hest= 360/4=90 ft.
n_{s}=\frac{n \cdot Q^{1 / 2}}{H^{3 / 4}}

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede para calcular n_s usando a fórmula fornecida.
  • Vazão: Q = 350\\ \mathrm{gal/min}.
  • Altura total da bomba: H_{\text{total}} = 360\\ \text{ft}.
  • Número de estágios: 4.
  • Rotação: n = 1750\\ \text{rpm}.
  • Altura por estágio (já sugerida): H_{\text{est}} = 360/4 = 90\\ \text{ft}.
O que se pede: determinar n_s usando a fórmula
n_{s}=\frac{n\cdot Q^{1/2}}{H^{3/4}},
onde deve-se usar H por estágio, ou seja H=H_{\text{est}}.

Passo 2

Calcular explicitamente a altura por estágio (passo simples, mas importante para não confundir):
H_{\text{est}}=\frac{360}{4}=90\\ \text{ft}.

Passo 3

Entender a fórmula e as grandezas (para a prova: decora com significado claro).
  • n é a rotação da bomba em \text{rpm}.
  • Q é a vazão (aqui em \mathrm{gal/min}).
  • H é a altura (aqui em \text{ft}); usar a altura por estágio.
  • Q^{1/2} significa \sqrt{Q} (a raiz quadrada de Q).
  • H^{3/4} significa H^{0,75}, que pode ser visto como a quarta raiz de H elevada ao cubo: H^{3/4}=(H^{1/4})^{3}.
    Observação sobre unidades: usando n em \text{rpm}, Q em \mathrm{gal/min} e H em \text{ft}, a expressão fornece o valor tradicional de n_s (usado em livros de bombas) com a unidade associada ao procedimento (costuma-se tratar n_s como número adimensional padrão ou valor em rpm normalizado — para a prova use o valor numérico calculado).

Passo 4

Calcular \sqrt{Q}:
\sqrt{Q}=\sqrt{350}.
Estimativa por aproximação entre quadrados conhecidos: 18^2=324 e 19^2=361, portanto \sqrt{350} está entre 18 e 19. Calculando com mais precisão (método de aproximação ou calculadora de bolso na prova):
\sqrt{350}\approx 18,7083.

Passo 5

Calcular H^{3/4} para H=90\\ \text{ft}. Vou fazer em duas etapas para ficar didático:
  • Primeiro, a quarta raiz de 90: 90^{1/4}. Sabendo que 81^{1/4}=3 e 100^{1/4}\approx 3,1623, para 90 fica entre esses valores; obtém-se
90^{1/4}\approx 3,0799.
  • Agora elevar ao cubo para obter H^{3/4}:
H^{3/4}=(90^{1/4})^{3}\approx 3,0799^{3}\approx 29,197.

Passo 6

Calcular o numerador n\cdot\sqrt{Q} e escrever a expressão antes da divisão final:
n\cdot\sqrt{Q}=1750\cdot 18,7083\approx 32739,502.
Portanto a fórmula fica
n_{s}=\frac{32739,502}{29,197}.

Resposta

\;n_{s}\approx 1121,3

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