Óleo diesel a 25^{\circ} \mathrm{C} ( \rho=850 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, \mu=3,0 \times 10^{-3} \mathrm{Pa} \cdot \mathrm{s} ) é bombeado a uma vazão de 36 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{h} em estado estacionário, desde o ponto 1 , situado a 1,2 m acima do nível da bomba, até o ponto 2 , situado a 12,0 \mathrm{~m} acima do nível da bomba. Ambos os tanques são abertos para a atmosfera e têm diâmetro muito maior que o da tubulação. O diâmetro interno do tubo na linha de sucção é de 88,9 \mathrm{~mm}. As perdas de energia ao longo de toda a tubulação (sucção + descarga) são de 68 \mathrm{~J} / \mathrm{kg}.
Determine a altura de projeto mínima que deve ser usada no dimensionamento da bomba.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pede: determinar a altura de projeto mínima que a bomba deve fornecer (ou seja, a altura manométrica mínima a ser prevista no dimensionamento).
  • Dados extraídos do enunciado:
    • Óleo diesel a 25^\circ\mathrm{C} com \rho=850\\ \mathrm{kg/m^3} e \mu=3{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • Vazão volumétrica Q=36\\ \mathrm{m^3/h}.
    • Ponto 1 (superfície do tanque de sucção) situado a z_1=1{,}2\\ \mathrm{m} acima do nível da bomba.
    • Ponto 2 (superfície do tanque de descarga) situado a z_2=12{,}0\\ \mathrm{m} acima do nível da bomba.
    • Ambos os tanques estão abertos à atmosfera e têm diâmetro muito maior que o da tubulação (logo a velocidade nas superfícies livres é desprezível).
    • Diâmetro interno do tubo na linha de sucção D=88{,}9\\ \mathrm{mm}=0{,}0889\\ \mathrm{m}.
    • Perdas de energia ao longo de toda a tubulação (sucção + descarga): 68\\ \mathrm{J/kg}.
  • Observação importante: as perdas foram dadas em \mathrm{J/kg} (energia por unidade de massa). Para transformar em “altura” (metros) precisamos dividir por g.

Passo 2

Conceito físico e fórmula a usar (explicação didática):
  • A bomba adiciona energia ao fluido para vencer a diferença de carga geométrica entre as superfícies livres e também para compensar as perdas por atrito e singularidades no sistema.
  • A forma prática da equação de Bernoulli com a energia fornecida pela bomba é, entre a superfície livre do tanque de sucção (ponto 1) e a superfície livre do tanque de descarga (ponto 2):
\frac{p_1}{\rho g}+\frac{v_1^2}{2g}+z_1+H_\text{bomba}-h_L=\frac{p_2}{\rho g}+\frac{v_2^2}{2g}+z_2,
onde:
  • p é a pressão absoluta,
  • \rho é a densidade do fluido,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • v é a velocidade do fluido no ponto considerado,
  • z é a cota (altura) do ponto,
  • H_\text{bomba} é a altura (head) que a bomba deve adicionar (o que queremos),
  • h_L é a perda de carga total (em metros).
  • Como ambos os tanques são abertos à atmosfera, p_1=p_2. Como os tanques têm diâmetro muito maior que a tubulação, as velocidades nas superfícies livres são desprezíveis: v_1\approx v_2\approx 0. Então a expressão simplifica para:
H_\text{bomba}=z_2-z_1+h_L.
Explicação intuitiva: a bomba precisa levantar o fluido pela diferença de cota e ainda fornecer energia suficiente para vencer as perdas ao longo da tubulação.

Passo 3

Converter a vazão e calcular a velocidade no tubo (aula prática e justificativa de aproximações):
  • Converter Q para \mathrm{m^3/s}:
Q=\frac{36\\ \mathrm{m^3}}{3600\\ \mathrm{s}}=0{,}01\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Área interna do tubo:
A=\frac{\pi D^2}{4}=\frac{\pi(0{,}0889)^2}{4}\approx 0{,}00620\\ \mathrm{m^2}.
  • Velocidade média no tubo:
v=\frac{Q}{A}=\frac{0{,}01}{0{,}00620}\approx 1{,}61\\ \mathrm{m/s}.
  • Velocidade nas superfícies livres (tanques) é praticamente zero, portanto o termo de \dfrac{v^2}{2g} nas superfícies pode ser desprezado. Para referência, a cabeça cinética na tubulação é
\frac{v^2}{2g}\approx\frac{(1{,}61)^2}{2\cdot 9{,}81}\approx 0{,}13\\ \mathrm{m},
valor pequeno comparado às alturas envolvidas; isto reforça que usar v_1\approx v_2\approx 0 entre as superfícies é razoável.

Passo 4

Calcular a diferença de cotas entre os pontos 2 e 1:
  • Diferença de elevação:
\Delta z=z_2-z_1=12{,}0-1{,}2=10{,}8\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Converter as perdas fornecidas (em \mathrm{J/kg}) para perda de carga em metros:
  • A perda de energia por unidade de massa é 68\\ \mathrm{J/kg}. Para converter para metros (head), dividimos por g:
h_L=\frac{68\\ \mathrm{J/kg}}{g}=\frac{68}{9{,}81}\\ \mathrm{m}\approx 6{,}93\\ \mathrm{m}.
  • Observação didática: \mathrm{J/kg}=\mathrm{(m^2/s^2)}. Dividindo por g (m/s^2) obtemos metros, que é a unidade habitual de “altura” (head).

Passo 6

Montar a expressão final para a altura que a bomba deve fornecer:
  • Usando H_\text{bomba}=\Delta z + h_L e os valores calculados:
H_\text{bomba}=10{,}8\\ \mathrm{m}+6{,}93\\ \mathrm{m}.

Resposta

17{,}73\\ \mathrm{m}

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