5.4 A bomba ‘A’ trabalha nas seguintes condições:
  • rotação da bomba =1800 \mathrm{rpm}
  • vazão =100 \mathrm{m}^{3} / \mathrm{h}
  • altura manométrica =40 \mathrm{m}
  • potência da bomba =20 \mathrm{cv}
  • diâmetro do rotor =200 \mathrm{mm}
Determinar a rotação, a altura manométrica e a potência da bomba ’ B ', hidraulicamente semelhante à bomba ’ A ', sabendo-se que a bomba ’ B ’ deve trabalhar com uma vazão de 135 \mathrm{m}^{3} / \mathrm{h} e com o rotor de 220 mm de diâmetro.

Passo 1

O enunciado dá os dados da bomba A e pede os valores da bomba B. Vamos listar claramente o que temos e o que pedem:
Dados da bomba A:
n_A = 1800\\ \mathrm{rpm},\quad Q_A = 100\\ \mathrm{m^3/h},\quad H_A = 40\\ \mathrm{m},
P_A = 20\\ \mathrm{cv},\quad D_A = 200\\ \mathrm{mm}.
Dados conhecidos para a bomba B:
Q_B = 135\\ \mathrm{m^3/h},\quad D_B = 220\\ \mathrm{mm}.
O que se pede:
  • determinar n_B (rotação da bomba B);
  • determinar H_B (altura manométrica da bomba B);
  • determinar P_B (potência da bomba B).

Passo 2

Conceito essencial (explicação didática das leis de semelhança — “affinity laws”):
Quando duas bombas são geometricamente semelhantes (mesma forma, só muda escala linear) e trabalham de forma dinamicamente semelhante, existe uma relação entre vazão Q, rotação n, diâmetro característico D, altura H e potência P. A ideia física por trás é:
  • uma velocidade característica dentro da bomba escala como n\cdot D (porque velocidade linear de um ponto na periferia é proporcional à rotação e ao diâmetro);
  • vazão é velocidade vezes área característica, então escala como (nD)\cdot D^2 = n D^3;
  • a altura (energia por unidade de peso) está ligada a velocidades ao quadrado, então escala como (nD)^2 = n^2 D^2;
  • potência é proporcional a \rho g Q H, então combina as duas leis acima e escala como n^3 D^5.
Em forma de proporções (essas são as leis que vamos usar):
\frac{Q_B}{Q_A}=\frac{n_B}{n_A}\left(\frac{D_B}{D_A}\right)^3,
\frac{H_B}{H_A}=\left(\frac{n_B}{n_A}\right)^2\left(\frac{D_B}{D_A}\right)^2,
\frac{P_B}{P_A}=\left(\frac{n_B}{n_A}\right)^3\left(\frac{D_B}{D_A}\right)^5.
Aqui Q é vazão volumétrica, n é rotação, D é dimensão linear característica (diâmetro do rotor), H é altura manométrica e P potência. Essas fórmulas são padrão para máquinas hidráulicas geometricamente semelhantes.

Passo 3

Isolando n_B da primeira relação. A equação é
\frac{Q_B}{Q_A}=\frac{n_B}{n_A}\left(\frac{D_B}{D_A}\right)^3.
Rearranjando para n_B:
n_B = n_A\cdot\frac{Q_B}{Q_A}\cdot\left(\frac{D_A}{D_B}\right)^3.
Agora vamos calcular passo a passo com os números dados.

Passo 4

Cálculo de n_B.
Primeiro calculamos a razão dos diâmetros:
\frac{D_A}{D_B}=\frac{200}{220}=\frac{10}{11}.
O cubo dessa razão é
\left(\frac{D_A}{D_B}\right)^3=\left(\frac{10}{11}\right)^3=\frac{1000}{1331}\approx 0,751314.
A razão das vazões é
\frac{Q_B}{Q_A}=\frac{135}{100}=1,35.
Portanto
n_B = 1800\cdot 1,35 \cdot 0,751314\approx 1800\cdot 1,0142728\approx 1825,7\\ \mathrm{rpm}.
Arredondando de forma prática para a rotação que costuma estar disponível em projeto:
n_B\approx 1826\\ \mathrm{rpm}.

Passo 5

Cálculo de H_B usando a segunda relação:
H_B = H_A\cdot\left(\frac{n_B}{n_A}\right)^2\left(\frac{D_B}{D_A}\right)^2.
Calculemos os fatores:
\frac{n_B}{n_A}\approx \frac{1825,7}{1800}\approx 1,0142728,
\left(\frac{n_B}{n_A}\right)^2\approx 1,0142728^2\approx 1,028722.
E
\frac{D_B}{D_A}=\frac{220}{200}=1,1,\qquad \left(\frac{D_B}{D_A}\right)^2=1{,}1^2=1{,}21.
Multiplicando os fatores:
\left(\frac{n_B}{n_A}\right)^2\left(\frac{D_B}{D_A}\right)^2\approx 1{,}028722\cdot 1{,}21\approx 1{,}2447.
Logo
H_B = 40\cdot 1{,}2447 \approx 49{,}79\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente:
H_B\approx 49{,}8\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Cálculo de P_B usando a terceira relação:
P_B = P_A\cdot\left(\frac{n_B}{n_A}\right)^3\left(\frac{D_B}{D_A}\right)^5.
Calculamos os fatores:
\left(\frac{n_B}{n_A}\right)^3\approx 1{,}0142728^3\approx 1{,}043443.
E
\left(\frac{D_B}{D_A}\right)^5=1{,}1^5.
Sabendo que 1{,}1^2=1{,}21, 1{,}1^4=1{,}21^2=1{,}4641 e 1{,}1^5=1{,}4641\cdot 1{,}1=1{,}61051.
Agora multiplicamos:
\left(\frac{n_B}{n_A}\right)^3\left(\frac{D_B}{D_A}\right)^5\approx 1{,}043443\cdot 1{,}61051\approx 1{,}6799.
Portanto
P_B = 20\cdot 1{,}6799 \approx 33{,}598\\ \mathrm{cv}.
Arredondando de forma prática:
P_B\approx 33{,}6\\ \mathrm{cv}.

Passo 7

Resumo rápido e checagem de unidades: usamos proporções adimensionais, então diâmetros em mm cancelaram nas razões. As potências foram calculadas em cv porque a razão é adimensional; poderia usar kW desde que P_A fosse convertido. Os arredondamentos foram feitos em valores práticos (rotação em rpm inteiro, altura e potência com uma casa decimal).

Resposta

n_B \approx 1826\\ \mathrm{rpm}\n
H_B \approx 49{,}8\\ \mathrm{m}\n
P_B \approx 33{,}6\\ \mathrm{cv}

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