(2,5) - Uma bomba transfere água entre dois reservatórios mantidos no mesmo nível, altura geométrica nula. O eixo da bomba está situado a 1,23 \mathrm{~m} acima do nível d’água de ambos os reservatórios. Para uma rotação de 1200 r.p.m a vazão descarregada é 6,82 l/s e as perdas de carga totais na sucção e no recalque valem, respectivamente, 2,44 \mathrm{~m} e 9,15 \mathrm{~m}. Até que valores podem chegar a rotação da bomba e a vazão recalcada, sem ocorrer cavitação, se o coeficiente de cavitação crítico da bomba vale \sigma_{c}=0,045 ? Assuma que a bomba trabalha com um rendimento máximo constante e que a pressão atmosférica e a pressão de vapor da água correspondem, respectivamente, a 92,12 \mathrm{kPa}. e 0,26 \mathrm{mH}_{2} \mathrm{O}. Que tipo de bomba é recomendado para este trabalho? Utilize uma equação de resistência, para o cálculo das perdas de carga, na forma, \Delta H= const \cdot Q^{2}.

Passo 1

O enunciado pede que determinemos a rotação máxima N e a vazão associada Q para as quais não ocorre cavitação, sabendo que o coeficiente crítico de cavitação é \sigma_{c}=0,045. Vamos usar:
1. NPSH disponível (NPSHA) que depende de p_{\rm atm}, p_{\rm v}, elevação da bomba e perda de carga de sucção.
2. NPSH requerido (NPSHR) vinculado ao coeficiente de cavitação crítico via
\text{NPSHR} = \sigma_{c}\,H_{\rm bomba}.
3. Leis de semelhança para bombas centrífugas:
  • Q\propto N
  • H\propto N^{2}
  • perdas de carga h_{\rm loss}\propto Q^{2}.

Passo 2

Calculamos primeiro a NPSH disponível no ponto de operação original (
N_{1}=1200,rpm, Q_{1}=6{,}82,L/s). Em cabeça temos:
\frac{p_{\rm atm}}{\rho g}=\frac{92120}{1000\cdot9{,}81}\approx9{,}39\\ \rm m, ,\quad \frac{p_{\rm v}}{\rho g}=0{,}26\\ \rm m,
e do reservatório até o eixo da bomba há \Delta z=1{,}23,m de sucção acima. Logo,
\text{NPSHA} =9{,}39 - 0{,}26 -1{,}23 - h_{\rm suc,1} =7{,}90 - 2{,}44 =5{,}46\\ \rm m.

Passo 3

A perda de carga total (sucção + recalque) no ponto original é
H_{1}=2{,}44 + 9{,}15 = 11{,}59\\ \rm m.
Isso define a constante K da equação \Delta H=K\,Q^{2}:
K=\frac{H_{1}}{Q_{1}^{2}} =\frac{11{,}59}{(0{,}00682)^{2}} \approx2{,}49\times10^{5}\\ \frac{\rm m}{(m^{3}/s)^{2}}.

Passo 4

Para uma rotação N qualquer:
  • A perda de carga de sucção varia como
    \displaystyle h_{\rm suc} = 2{,}44\,(N/1200)^{2}.
  • A NPSHA fica \text{NPSHA}(N) =9{,}39 - 0{,}26 -1{,}23 - 2{,}44\Bigl(\frac{N}{1200}\Bigr)^{2} =7{,}90 - 2{,}44\Bigl(\frac{N}{1200}\Bigr)^{2}.
  • O cabeçalho da bomba (considerando escala de afinidade) é H_{\rm bomba}(N) = H_{1}\Bigl(\frac{N}{1200}\Bigr)^{2} =11{,}59\Bigl(\frac{N}{1200}\Bigr)^{2}.
  • A NPSH requerida é \text{NPSHR}(N) = \sigma_{c}\,H_{\rm bomba}(N) =0{,}045\times11{,}59\Bigl(\frac{N}{1200}\Bigr)^{2} =0{,}5216\Bigl(\frac{N}{1200}\Bigr)^{2}.

Passo 5

Impondo a condição limite de cavitação \text{NPSHA}=\text{NPSHR}, temos
7{,}90 - 2{,}44\Bigl(\frac{N}{1200}\Bigr)^{2} =0{,}5216\Bigl(\frac{N}{1200}\Bigr)^{2}.
Portanto
7{,}90 =(2{,}44+0{,}5216)\Bigl(\frac{N}{1200}\Bigr)^{2} =2{,}9616\Bigl(\frac{N}{1200}\Bigr)^{2},
\Bigl(\frac{N}{1200}\Bigr)^{2} =\frac{7{,}90}{2{,}9616}\approx2{,}668, \quad \frac{N}{1200}\approx\sqrt{2{,}668}\approx1{,}633,
N_{\max}\approx1200\times1{,}633\approx1960\\ \rm rpm.

Passo 6

Pela lei de afinidade Q\propto N, a vazão máxima é
Q_{\max} =Q_{1}\frac{N_{\max}}{1200} =0{,}00682\times1{,}633 \approx0{,}01114\\ \rm m^{3}/s =11{,}14\\ \rm L/s.
Para essa faixa de vazão e carga (cerca de 12 m), recomenda-se uma bomba centrífuga de impelidor radial (ou de fluxo misto, se quiser maior vazão), pois oferece boa escalabilidade pelas leis de semelhança e suporte ao coeficiente de cavitação dado.

Resposta

N_{\max}\approx1960\\ \rm rpm Q_{\max}\approx11{,}14\\ \rm L/s
Bomba recomendada: centrífuga de impelidor radial (ou de fluxo misto para maior vazão).

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