Uma bomba de vácuo opera de tal maneira que ela remove ar de um vaso fechado a uma vazão volumétrica constante de 0,02 \frac{\mathrm{~m}^{3}}{\mathrm{~min}}. Quanto tempo levará para evacuar um vaso de 0,21 \mathrm{~m}^{3} preenchido inicialmente com ar a uma pressão absoluta de 1 atm até 0,01 \mathrm{~atm} ? O processo é suficientemente lento de tal maneira que o gás no tanque permanece a uma temperatura constante. Considere que o comportamento volumétrico do ar é descrito pela equação dos gases perfeitos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Vazão volumétrica da bomba: Q = 0,02\\ \mathrm{m}^{3}/\mathrm{min}.
  • Volume do vaso (constante): V = 0,21\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Pressão inicial absoluta: p_0 = 1\\ \mathrm{atm}.
  • Pressão final desejada: p_f = 0,01\\ \mathrm{atm}.
  • Informação adicional: o processo ocorre a temperatura constante e o ar comporta-se como gás perfeito.
O enunciado pede: calcular o tempo necessário para a pressão dentro do vaso cair de p_0 para p_f dada a vazão volumétrica constante Q.

Passo 2

Entendendo o que significa “vazão volumétrica constante” num processo de esvaziamento: a bomba suga sempre um mesmo volume de gás por unidade de tempo medido nas condições instantâneas dentro do vaso. Ou seja, no instante em que a pressão é p e a temperatura é T, um volume Q de gás a essa pressão é removido por minuto. Para converter esse volume removido em número de mols removidos usamos a equação dos gases perfeitos.
A equação dos gases perfeitos é
pV = nRT,
onde:
  • p é a pressão absoluta,
  • V é o volume ocupado pelo gás,
  • n é o número de mols,
  • R é a constante universal dos gases,
  • T é a temperatura absoluta.
Dessa equação, o número de mols presente num volume V é
n=\frac{pV}{RT}.
Agora, o número de mols contidos no volume Q (retirado por unidade de tempo) é
\text{mols removidos por unidade de tempo}=\frac{p\,Q}{RT},
pois Q é um volume sob pressão p à temperatura T.

Passo 3

Montando a equação de balanço de mols no vaso. Como o volume do vaso V é constante, o número de mols totais no vaso é
n(t)=\frac{p(t)\,V}{RT}.
Diferenciando em relação ao tempo:
\frac{dn}{dt}=\frac{V}{RT}\,\frac{dp}{dt}.
Por outro lado, os mols estão saindo pela bomba à taxa \dfrac{pQ}{RT} (ver passo anterior), então
\frac{dn}{dt}=-\frac{p\,Q}{RT},
o sinal negativo porque n diminui.
Igualando as duas expressões para \dfrac{dn}{dt} e cancelando \dfrac{1}{RT}, obtemos a equação diferencial para a pressão:
\frac{V}{RT}\,\frac{dp}{dt}=-\frac{p\,Q}{RT}\quad\Longrightarrow\quad \frac{dp}{dt}=-\frac{Q}{V}\,p.
Interpretação física: a pressão decai proporcionalmente ao próprio valor da pressão, com constante de proporcionalidade \dfrac{Q}{V}. Isso gera uma queda exponencial da pressão. A quantidade \tau=\dfrac{V}{Q} tem unidade de tempo e é o tempo característico do esvaziamento.

Passo 4

Resolver a equação diferencial. É uma equação separável:
\frac{dp}{p}=-\frac{Q}{V}\,dt.
Integramos dos instantes iniciais até um tempo t:
\int_{p_0}^{p(t)}\frac{1}{p}\,dp=-\frac{Q}{V}\int_{0}^{t}dt.
As integrais dão
\ln\!\left(\frac{p(t)}{p_0}\right)=-\frac{Q}{V}\,t.
Rearranjando,
p(t)=p_0\exp\!\left(-\frac{Q}{V}\,t\right).
Para atingir p(t)=p_f resolvemos para t:
\ln\!\left(\frac{p_f}{p_0}\right)=-\frac{Q}{V}\,t \quad\Longrightarrow\quad t=\frac{V}{Q}\,\ln\!\left(\frac{p_0}{p_f}\right).

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calcule a razão V/Q:
\frac{V}{Q}=\frac{0,21}{0,02}=10,5\\ \mathrm{min}.
Em seguida o logaritmo:
\ln\!\left(\frac{p_0}{p_f}\right)=\ln\!\left(\frac{1}{0,01}\right)=\ln(100)=4,605170\ldots
Multiplicando:
t=10,5\times 4,605170\ldots = 48,3543\ldots\\ \mathrm{min}.
Arredondando de forma razoável (os dados têm cerca de duas algarismos significativos), podemos dar t\approx 48,4\\ \mathrm{min}, ou se preferir em horas t\approx 0,806\\ \mathrm{h}.

Passo 6

Resumo curto e incentivo: o resultado veio de pensar que a bomba retira sempre o mesmo volume por minuto, então a taxa de mols retirada é proporcional à pressão, o que gera decaimento exponencial. Fica tranquilo — essa dedução é padrão em problemas de esvaziamento a vazão volumétrica constante.

Resposta

t \approx 48{,}4\\ \mathrm{min}

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