Uma bomba de vácuo opera de tal maneira que ela remove ar de um vaso fechado a uma vazão volumétrica constante de
. Quanto tempo levará para evacuar um vaso de
preenchido inicialmente com ar a uma pressão absoluta de 1 atm até
? O processo é suficientemente lento de tal maneira que o gás no tanque permanece a uma temperatura constante. Considere que o comportamento volumétrico do ar é descrito pela equação dos gases perfeitos.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Vazão volumétrica da bomba:
. - Volume do vaso (constante):
. - Pressão inicial absoluta:
. - Pressão final desejada:
. - Informação adicional: o processo ocorre a temperatura constante e o ar comporta-se como gás perfeito.
O enunciado pede: calcular o tempo necessário para a pressão dentro do vaso cair de
para
dada a vazão volumétrica constante
.
Passo 2
Entendendo o que significa “vazão volumétrica constante” num processo de esvaziamento: a bomba suga sempre um mesmo volume de gás por unidade de tempo medido nas condições instantâneas dentro do vaso. Ou seja, no instante em que a pressão é
e a temperatura é
, um volume
de gás a essa pressão é removido por minuto. Para converter esse volume removido em número de mols removidos usamos a equação dos gases perfeitos.
A equação dos gases perfeitos é
onde:
-
é a pressão absoluta, -
é o volume ocupado pelo gás, -
é o número de mols, -
é a constante universal dos gases, -
é a temperatura absoluta.
Dessa equação, o número de mols presente num volume
é
Agora, o número de mols contidos no volume
(retirado por unidade de tempo) é
pois
é um volume sob pressão
à temperatura
.
Passo 3
Montando a equação de balanço de mols no vaso. Como o volume do vaso
é constante, o número de mols totais no vaso é
Diferenciando em relação ao tempo:
Por outro lado, os mols estão saindo pela bomba à taxa
(ver passo anterior), então
o sinal negativo porque
diminui.
Igualando as duas expressões para
e cancelando
, obtemos a equação diferencial para a pressão:
Interpretação física: a pressão decai proporcionalmente ao próprio valor da pressão, com constante de proporcionalidade
. Isso gera uma queda exponencial da pressão. A quantidade
tem unidade de tempo e é o tempo característico do esvaziamento.
Passo 4
Resolver a equação diferencial. É uma equação separável:
Integramos dos instantes iniciais até um tempo
:
As integrais dão
Rearranjando,
Para atingir
resolvemos para
:
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos. Primeiro calcule a razão
:
Em seguida o logaritmo:
Multiplicando:
Arredondando de forma razoável (os dados têm cerca de duas algarismos significativos), podemos dar
, ou se preferir em horas
.
Passo 6
Resumo curto e incentivo: o resultado veio de pensar que a bomba retira sempre o mesmo volume por minuto, então a taxa de mols retirada é proporcional à pressão, o que gera decaimento exponencial. Fica tranquilo — essa dedução é padrão em problemas de esvaziamento a vazão volumétrica constante.