Considere a transferência de calor em regime permanente entre duas placas paralelas com temperaturas constantes,
e
, que estão separadas por uma distância de 1 cm . Considere que as superfícies são corpos negros (
1) e determine a taxa de transferência de calor entre as placas por unidade de área, assumindo que o espaço entre as placas seja preenchido por:
superisolamento com condutividade térmica de
.
superisolamento com condutividade térmica de
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos (peguei estes números do enunciado):
- Pedir: determinar a taxa de transferência de calor entre as placas por unidade de área (ou seja, fluxo de calor superficial
), sabendo que as placas estão a temperaturas constantes e o espaço entre elas está preenchido por um superisolante. - Dados fornecidos:
- Temperatura da placa quente:
. - Temperatura da placa fria:
. - Distância entre as placas:
. - As superfícies são corpos negros:
(informação útil caso fosse necessário considerar radiação). - Condutividade térmica do superisolamento:
(peguei este valor do enunciado).
- Temperatura da placa quente:
- Situação física pedida: regime permanente (steady state), espaço preenchido por um material com condutividade
. Calcular (fluxo por unidade de área).
Passo 2
Qual fórmula usar e por que (explicação didática de física e matemática):
- Em regime permanente, sem geração interna e assumindo que o aquecimento é unidimensional entre placas paralelas e o material tem condutividade térmica constante, vale a Lei de Fourier para condução unidimensional estacionária:
- Aqui
é o fluxo de calor por unidade de área (unidade ); é a condutividade térmica do material (unidade ); é o gradiente de temperatura na direção normal às placas (unidade ). - Para placas paralelas com temperaturas fixas e material homogêneo entre elas, o perfil de temperatura é linear em
. Assim o gradiente médio é simplesmente (diferença de temperatura dividida por espessura), e a equação reduz-se a:
- Explicando o sinal: o sinal negativo na forma original indica que o fluxo está no sentido de decrescimento da temperatura; escrevendo
já damos um valor positivo quando , interpretando-o como magnitude do fluxo do quente para o frio.
Passo 3
Aplicando números passo a passo (contas que dá para fazer sem calculadora):
- Primeiro calcule a diferença de temperatura:
- Em seguida calcule o gradiente médio:
- Agora aplique a Lei de Fourier na forma direta:
- Multiplicando:
- Unidade resultante é
. Portanto
Passo 4
Interpretação física e observações didáticas (o que isso significa na prova e ponto de atenção sobre radiação):
- Resultado: o fluxo de calor por unidade de área é pequeno:
, indo da placa a para a placa a . - Por que tão pequeno? Porque o superisolamento tem uma condutividade extremamente baixa (
), então mesmo com a taxa de condução é muito baixa. - Atenção de prova/prática: o enunciado também informou
. Se o espaço entre placas fosse vácuo (ou um meio transparente à radiação) e as superfícies fossem corpos negros, a transferência por radiação entre elas poderia ser estimada por
onde
é a constante de Stefan–Boltzmann
. Se calcularmos isso rapidamente:
Isso mostra que, em vácuo com placas negras, a radiação seria centenas de W/m^{2} e dominaria o processo; mas como o problema pede explicitamente que o espaço seja preenchido por um superisolamento (material com
muito pequeno), o mecanismo considerado aqui é a condução através desse material e o valor é o que calculamos:
.
- Dica prática para prova: sempre leia se há material entre as superfícies. Se houver um meio sólido/fluido com condutividade conhecida, calcule condução (Lei de Fourier). Se for vácuo ou meio transparente, cheque a radiação (Lei de Stefan–Boltzmann) e compare as ordens de grandeza para ver qual mecanismo domina.