Considere a transferência de calor em regime permanente entre duas placas paralelas com temperaturas constantes, \mathrm{T}_{1}=300 \mathrm{~K} e \mathrm{T}_{2}=200 \mathrm{~K}, que estão separadas por uma distância de 1 cm . Considere que as superfícies são corpos negros ( \varepsilon= 1) e determine a taxa de transferência de calor entre as placas por unidade de área, assumindo que o espaço entre as placas seja preenchido por:
superisolamento com condutividade térmica de 0,00002 \mathrm{~W} / \mathrm{mK}.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos (peguei estes números do enunciado):
  • Pedir: determinar a taxa de transferência de calor entre as placas por unidade de área (ou seja, fluxo de calor superficial q''), sabendo que as placas estão a temperaturas constantes e o espaço entre elas está preenchido por um superisolante.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura da placa quente: T_{1}=300\\ \mathrm{K}.
    • Temperatura da placa fria: T_{2}=200\\ \mathrm{K}.
    • Distância entre as placas: L=1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m}.
    • As superfícies são corpos negros: \varepsilon=1 (informação útil caso fosse necessário considerar radiação).
    • Condutividade térmica do superisolamento: k=0,00002\\ \mathrm{W/(m\;K)} (peguei este valor do enunciado).
  • Situação física pedida: regime permanente (steady state), espaço preenchido por um material com condutividade k. Calcular q'' (fluxo por unidade de área).

Passo 2

Qual fórmula usar e por que (explicação didática de física e matemática):
  • Em regime permanente, sem geração interna e assumindo que o aquecimento é unidimensional entre placas paralelas e o material tem condutividade térmica constante, vale a Lei de Fourier para condução unidimensional estacionária:
q'' = -k\,\frac{dT}{dx}.
  • Aqui q'' é o fluxo de calor por unidade de área (unidade \mathrm{W/m^{2}}); k é a condutividade térmica do material (unidade \mathrm{W/(m\;K)}); \dfrac{dT}{dx} é o gradiente de temperatura na direção normal às placas (unidade \mathrm{K/m}).
  • Para placas paralelas com temperaturas fixas e material homogêneo entre elas, o perfil de temperatura é linear em x. Assim o gradiente médio é simplesmente (T_{2}-T_{1})/L (diferença de temperatura dividida por espessura), e a equação reduz-se a:
q'' = -k\,\frac{T_{2}-T_{1}}{L} = k\,\frac{T_{1}-T_{2}}{L}.
  • Explicando o sinal: o sinal negativo na forma original indica que o fluxo está no sentido de decrescimento da temperatura; escrevendo k\,(T_{1}-T_{2})/L já damos um valor positivo quando T_{1}>T_{2}, interpretando-o como magnitude do fluxo do quente para o frio.

Passo 3

Aplicando números passo a passo (contas que dá para fazer sem calculadora):
  • Primeiro calcule a diferença de temperatura:
T_{1}-T_{2}=300-200=100\\ \mathrm{K}.
  • Em seguida calcule o gradiente médio:
\frac{T_{1}-T_{2}}{L}=\frac{100}{0,01}=10000\\ \mathrm{K/m}.
  • Agora aplique a Lei de Fourier na forma direta:
q''=k\,\frac{T_{1}-T_{2}}{L}=0,00002\times10000.
  • Multiplicando:
0,00002\times10000=0,2.
  • Unidade resultante é \mathrm{W/m^{2}}. Portanto
q''=0,2\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 4

Interpretação física e observações didáticas (o que isso significa na prova e ponto de atenção sobre radiação):
  • Resultado: o fluxo de calor por unidade de área é pequeno: \,0,2\\ \mathrm{W/m^{2}}, indo da placa a 300\\ \mathrm{K} para a placa a 200\\ \mathrm{K}.
  • Por que tão pequeno? Porque o superisolamento tem uma condutividade extremamente baixa ( k=2\times10^{-5}\\ \mathrm{W/(m\;K)}), então mesmo com \Delta T=100\\ \mathrm{K} a taxa de condução é muito baixa.
  • Atenção de prova/prática: o enunciado também informou \varepsilon=1. Se o espaço entre placas fosse vácuo (ou um meio transparente à radiação) e as superfícies fossem corpos negros, a transferência por radiação entre elas poderia ser estimada por
q''_{\text{rad}}=\sigma\bigl(T_{1}^{4}-T_{2}^{4}\bigr),
onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann \sigma\approx5{,}67\times10^{-8}\\ \mathrm{W/(m^{2}K^{4})}. Se calcularmos isso rapidamente:
300^{4}=8{,}1\times10^{9},\qquad 200^{4}=1{,}6\times10^{9},
T_{1}^{4}-T_{2}^{4}=6{,}5\times10^{9},
q''_{\text{rad}}\approx5{,}67\times10^{-8}\times6{,}5\times10^{9}\approx368\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Isso mostra que, em vácuo com placas negras, a radiação seria centenas de W/m^{2} e dominaria o processo; mas como o problema pede explicitamente que o espaço seja preenchido por um superisolamento (material com k muito pequeno), o mecanismo considerado aqui é a condução através desse material e o valor é o que calculamos: 0,2\\ \mathrm{W/m^{2}}.
  • Dica prática para prova: sempre leia se há material entre as superfícies. Se houver um meio sólido/fluido com condutividade conhecida, calcule condução (Lei de Fourier). Se for vácuo ou meio transparente, cheque a radiação (Lei de Stefan–Boltzmann) e compare as ordens de grandeza para ver qual mecanismo domina.

Resposta

q''=0,2\\ \mathrm{W/m^{2}} (do corpo a 300\\ \mathrm{K} para o de 200\\ \mathrm{K}).

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