Considere a transferência de calor em regime permanente entre duas placas paralelas com temperaturas constantes, \mathrm{T}_{1}=300 \mathrm{~K} e \mathrm{T}_{2}=200 \mathrm{~K}, que estão separadas por uma distância de 1 cm . Considere que as superfícies são corpos negros ( \varepsilon= 1) e determine a taxa de transferência de calor entre as placas por unidade de área, assumindo que o espaço entre as placas seja preenchido por:
ar atmosférico em repouso;

Passo 1

O enunciado pede a taxa de transferência de calor por unidade de área entre duas placas paralelas, com temperaturas constantes T_1=300\\ \mathrm{K} e T_2=200\\ \mathrm{K}, separadas por uma distância L=1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m}. As superfícies são corpos negros ( \varepsilon=1 ). O espaço entre as placas é preenchido por ar atmosférico em repouso (ou seja, sem movimento convectivo imposto).
Informações dadas e assumidas:
  • T_1=300\\ \mathrm{K}.
  • T_2=200\\ \mathrm{K}.
  • L=0,01\\ \mathrm{m}.
  • Superfícies negras: \varepsilon=1.
  • Espaço preenchido por ar em repouso: consideraremos condução térmica no ar + troca radiativa entre as placas (o ar é tratado como transparente à radiação e estacionário, logo não há convecção forçada; discutiremos a validade dessa hipótese depois).

Passo 2

Quais mecanismos contribuem para a transferência de calor neste cenário e quais fórmulas usamos?
  1. Condução no ar (Lei de Fourier, regime estacionário unidimensional): a densidade de fluxo de calor por condução (por unidade de área) é dada por
q''_{\mathrm{cond}} = -k\,\frac{dT}{dx}.
Para temperatura linear entre placas (regime permanente, sem geração interna) isso simplifica para
q''_{\mathrm{cond}} = k\,\frac{T_1-T_2}{L},
onde:
  • k é a condutividade térmica do ar (unidade \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}});
  • T_1-T_2 é a diferença de temperatura;
  • L é a separação entre placas.
  1. Radiação entre duas placas paralelas e negras: para superfícies completamente negras (emissividade =1) e com fator de vista F_{12}=1 (placas grandes, paralelas, frente a frente), o fluxo radiativo líquido por unidade de área é
q''_{\mathrm{rad}} = \sigma\bigl(T_1^4 - T_2^4\bigr),
onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann.
A transferência total de calor por unidade de área (assumindo independência das contribuições) é a soma:
q''_{\mathrm{total}} = q''_{\mathrm{cond}} + q''_{\mathrm{rad}}.

Passo 3

Cálculo do fluxo radiativo. Usamos a constante de Stefan–Boltzmann
\displaystyle \sigma = 5,670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
Calculemos T_1^4 e T_2^4:
300^4 = 8{,}10\times10^{9}, \qquad 200^4 = 1{,}60\times10^{9}.
A diferença é
T_1^4 - T_2^4 = 6{,}50\times10^{9}.
Logo
q''_{\mathrm{rad}} = \sigma\,(T_1^4 - T_2^4) = 5{,}670374419\times10^{-8}\times 6{,}50\times10^{9} \approx 368{,}57\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.

Passo 4

Cálculo do fluxo por condução no ar. Precisamos escolher um valor para a condutividade térmica do ar. Como aproximação prática usa-se o valor em torno de k\approx 0{,}026\\ \mathrm{W\,m^{-1}\,K^{-1}} (valor típico do ar próximo a 300\\ \mathrm{K}). Usando a fórmula:
q''_{\mathrm{cond}} = k\,\frac{T_1-T_2}{L} = 0{,}026\\ \frac{300-200}{0{,}01} = 0{,}026\times\frac{100}{0{,}01} = 0{,}026\times10000 = 260\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.

Passo 5

Somando as contribuições (condução no ar + radiação entre superfícies negras):
q''_{\mathrm{total}} = q''_{\mathrm{cond}} + q''_{\mathrm{rad}} = 260 + 368{,}57 = 628{,}57\\ \mathrm{W\,m^{-2}}.

Passo 6

Verificação física e observações didáticas (quando é aceitável somar assim; e quando a convecção natural pode aparecer).
  • A hipótese do enunciado foi “ar atmosférico em repouso” — isso implica negligenciar convecção (nem forçada nem desenvolvida) e tomar apenas condução no fluido. Sob essa hipótese os cálculos acima estão corretos.
  • Se existisse convecção natural, o fluxo convectivo adicional dependeria da orientação (placas horizontais ou verticais) e de parâmetros adimensionais (número de Rayleigh \mathrm{Ra}). Uma estimativa rápida do número de Rayleigh usando T_m=(T_1+T_2)/2=250\\ \mathrm{K}, \beta\approx 1/T_m, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, L=0{,}01\\ \mathrm{m}, e propriedades típicas do ar ( \nu\sim1{,}6\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}, \alpha\sim2{,}2\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s}) dá uma ordem de grandeza
\mathrm{Ra}\sim \frac{g\beta\Delta T L^3}{\nu\alpha}\approx 1\times10^{4}.
Para uma camada horizontal aquecida por baixo o valor crítico para início da convecção é \mathrm{Ra}_{\mathrm{cr}}\approx1708, então, se a placa quente ficasse por baixo, naturalmente poderia surgir convecção aumentando o fluxo total. Se a placa quente ficasse por cima, convecção é suprimida e a hipótese de ar em repouso é mais justificável. Como o enunciado exige “ar em repouso”, mantivemos a hipótese e somamos apenas condução + radiação.

Resposta

q''_{\mathrm{rad}} \approx 368{,}57\\ \mathrm{W\,m^{-2}}
q''_{\mathrm{cond}} \approx 260{,}00\\ \mathrm{W\,m^{-2}}
q''_{\mathrm{total}} \approx 628{,}57\\ \mathrm{W\,m^{-2}}

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