Considere a condução de calor estacionária, unidimensional, numa placa com a condutividade térmica constante na região 0 \leq x \leq L. Gera-se energia na placa à taxa de g_{0} e^{\mu x} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}, equanto a fronteira em x=0 conserva-se isolada, e em x=L se dissipa calor por convecção para um meio à temperatura T_{\infty} com um coeficiente de transferência de calor h \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}. Escreva a formulação matemática deste problema (equação de condução correta e suas condições de contornos). (VALOR 2,0 PONTOS)
Passo 1
O enunciado pede que eu escreva a formulação matemática (equação de condução e condições de contorno) para uma placa unidimensional, em regime estacionário, no intervalo 0 \le x \le L. As informações dadas são:
Domínio: 0 \le x \le L.
Condutividade térmica constante: k (unidades: \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot{ }^{\circ}\mathrm{C}).
Geração volumétrica de calor: g(x)=g_{0}e^{\mu x} (unidades: \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}), com g_{0} e \mu constantes.
Fronteira em x=0: isolada (adiabática).
Fronteira em x=L: convecção para meio a temperatura T_{\infty} com coeficiente h (unidades: \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\cdot{ }^{\circ}\mathrm{C}).
A tarefa: escrever a equação diferencial que governa a temperatura T(x) em regime estacionário e as condições de contorno correspondentes.
Passo 2
Vou montar a equação de balanço de energia para um elemento diferencial unidimensional em regime estacionário. Primeiro, lembrar a lei de Fourier (fluxo condutivo unidimensional):
q_x(x) = -k\,\frac{dT}{dx}(x),
onde q_x é o fluxo de calor por unidade de área no sentido positivo de x (unidade \mathrm{W}/\mathrm{m}^2), k é a condutividade (constante) e \dfrac{dT}{dx} é o gradiente de temperatura. Vou explicar devagar: o sinal negativo indica que o calor flui de regiões de maior temperatura para menor temperatura.
Agora aplico o balanço de energia numa fatia infinitesimal de espessura dx. Em regime estacionário, a variação de energia interna no volume é zero, logo a soma dos fluxos que entram/saem e da geração volumétrica deve dar zero:
\frac{d}{dx}\bigl(q_x(x)\bigr) + g(x) = 0.
Isto significa: mudança do fluxo com x (diferença entre fluxo que entra e sai) mais geração volumétrica por unidade de volume deve somar zero, pois não há acúmulo no regime estacionário.
Passo 3
Substituo q_x pela lei de Fourier na equação de balanço:
Aqui \dfrac{d^{2}T}{dx^{2}} é a curvatura da distribuição de temperatura; a equação mostra que essa curvatura é determinada pela geração interna.
Passo 4
Agora as condições de contorno. Começo em x=0, que é isolada. Fronteira isolada significa que não há fluxo de calor atravessando a superfície. Em termos da lei de Fourier:
Fisicamente: o gradiente de temperatura na superfície isolada é nulo (não há perda nem ganho de calor).
Passo 5
Na fronteira x=L há convecção para um fluido a temperatura \,T_{\infty} com coeficiente h. A condição de contorno é a igualdade entre o fluxo condutivo que sai da placa e o fluxo convectivo para o meio, pela lei de Newton do resfriamento:
Onde as variáveis e parâmetros são: T(x) temperatura (em { }^{\circ}\mathrm{C} ou K, consistente), k condutividade (\mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot{ }^{\circ}\mathrm{C}), g_{0} e \mu caracterizam a geração volumétrica g_{0}e^{\mu x} (\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}), h coeficiente convectivo (\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\cdot{ }^{\circ}\mathrm{C}) e T_{\infty} temperatura do fluido ({ }^{\circ}\mathrm{C} ou K).