Considere a condução de calor estacionária, unidimensional, numa placa com a condutividade térmica constante na região 0 \leq x \leq L. Gera-se energia na placa à taxa de g_{0} e^{\mu x} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}, equanto a fronteira em x=0 conserva-se isolada, e em x=L se dissipa calor por convecção para um meio à temperatura T_{\infty} com um coeficiente de transferência de calor h \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}. Escreva a formulação matemática deste problema (equação de condução correta e suas condições de contornos). (VALOR 2,0 PONTOS)

Passo 1

O enunciado pede que eu escreva a formulação matemática (equação de condução e condições de contorno) para uma placa unidimensional, em regime estacionário, no intervalo 0 \le x \le L. As informações dadas são:
  • Domínio: 0 \le x \le L.
  • Condutividade térmica constante: k (unidades: \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot{ }^{\circ}\mathrm{C}).
  • Geração volumétrica de calor: g(x)=g_{0}e^{\mu x} (unidades: \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}), com g_{0} e \mu constantes.
  • Fronteira em x=0: isolada (adiabática).
  • Fronteira em x=L: convecção para meio a temperatura T_{\infty} com coeficiente h (unidades: \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\cdot{ }^{\circ}\mathrm{C}).
    A tarefa: escrever a equação diferencial que governa a temperatura T(x) em regime estacionário e as condições de contorno correspondentes.

Passo 2

Vou montar a equação de balanço de energia para um elemento diferencial unidimensional em regime estacionário. Primeiro, lembrar a lei de Fourier (fluxo condutivo unidimensional):
q_x(x) = -k\,\frac{dT}{dx}(x),
onde q_x é o fluxo de calor por unidade de área no sentido positivo de x (unidade \mathrm{W}/\mathrm{m}^2), k é a condutividade (constante) e \dfrac{dT}{dx} é o gradiente de temperatura. Vou explicar devagar: o sinal negativo indica que o calor flui de regiões de maior temperatura para menor temperatura.
Agora aplico o balanço de energia numa fatia infinitesimal de espessura dx. Em regime estacionário, a variação de energia interna no volume é zero, logo a soma dos fluxos que entram/saem e da geração volumétrica deve dar zero:
\frac{d}{dx}\bigl(q_x(x)\bigr) + g(x) = 0.
Isto significa: mudança do fluxo com x (diferença entre fluxo que entra e sai) mais geração volumétrica por unidade de volume deve somar zero, pois não há acúmulo no regime estacionário.

Passo 3

Substituo q_x pela lei de Fourier na equação de balanço:
\frac{d}{dx}\!\left(-k\,\frac{dT}{dx}\right) + g_{0}e^{\mu x} = 0.
Como a condutividade k é constante, posso simplificar:
-k\,\frac{d^{2}T}{dx^{2}} + g_{0}e^{\mu x} = 0.
Multiplicando por -1 (para ficar numa forma mais usual):
k\,\frac{d^{2}T}{dx^{2}} + g_{0}e^{\mu x} = 0.
Ou, isolando a segunda derivada:
\frac{d^{2}T}{dx^{2}} = -\frac{g_{0}}{k}\,e^{\mu x}.
Aqui \dfrac{d^{2}T}{dx^{2}} é a curvatura da distribuição de temperatura; a equação mostra que essa curvatura é determinada pela geração interna.

Passo 4

Agora as condições de contorno. Começo em x=0, que é isolada. Fronteira isolada significa que não há fluxo de calor atravessando a superfície. Em termos da lei de Fourier:
q_x(0) = -k\,\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0} = 0.
Como k\neq 0, isso implica a condição de Neumann
\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0} = 0.
Fisicamente: o gradiente de temperatura na superfície isolada é nulo (não há perda nem ganho de calor).

Passo 5

Na fronteira x=L há convecção para um fluido a temperatura \,T_{\infty} com coeficiente h. A condição de contorno é a igualdade entre o fluxo condutivo que sai da placa e o fluxo convectivo para o meio, pela lei de Newton do resfriamento:
q_x(L) = -k\,\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L} = h\bigl(T(L)-T_{\infty}\bigr).
Essa é uma condição de contorno mista (tipo Robin): relaciona o gradiente de temperatura com o valor da temperatura na superfície.

Passo 6

Resumo final da formulação matemática (tudo definido):
  • Equação diferencial (regime estacionário, 1D, k constante):
k\,\frac{d^{2}T}{dx^{2}} + g_{0}e^{\mu x} = 0,\qquad 0<x<L.
  • Condição de contorno em x=0 (isolada, Neumann):
\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0} = 0.
  • Condição de contorno em x=L (convecção, Robin):
-k\,\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L} = h\bigl(T(L)-T_{\infty}\bigr).
Onde as variáveis e parâmetros são: T(x) temperatura (em { }^{\circ}\mathrm{C} ou K, consistente), k condutividade ( \mathrm{W}/\mathrm{m}\cdot{ }^{\circ}\mathrm{C}), g_{0} e \mu caracterizam a geração volumétrica g_{0}e^{\mu x} ( \mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}), h coeficiente convectivo ( \mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}\cdot{ }^{\circ}\mathrm{C}) e T_{\infty} temperatura do fluido ( { }^{\circ}\mathrm{C} ou K).

Resposta

k\,\frac{d^{2}T}{dx^{2}} + g_{0}e^{\mu x} = 0,\qquad 0<x<L
\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=0} = 0
-k\,\left.\frac{dT}{dx}\right|_{x=L} = h\bigl(T(L)-T_{\infty}\bigr)

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