O “bombeamento capilar” depende muito da pureza do fluido e da limpeza do tubo. Normalmente, os valores medidos são menores que os obtidos de \Sigma F y=0 ( y é a coordenada vertical). A próxima tabela apresenta algumas medidas da altura h, de uma coluna de água num tubo vertical, aberto e com diâmetro interno igual a " d ". A água do ensaio era potável, a 15,5^{\circ} \mathrm{C} e não foi realizada qualquer operação para limpar o tubo de vidro. Estime, a partir destes dados, o valor de \sigma \cos \theta. Se o valor de \sigma é aquele fornecido nas tabelas de propriedades, qual é o valor de \theta ? Admitindo que \theta é igual a 0^{\circ}, qual é o valor de \sigma ?
d(\mathrm{~mm}) 7,62 6,35 5,08 3,81 2,54 1,27
h(\mathrm{~mm}) 3,38 4,19 5,03 6,93 10,69 20,22

Passo 1

O enunciado pede três coisas, usando os dados experimentais da tabela (que eu peguei da tabela fornecida pelo enunciado):
  1. Estimar o valor de \sigma\cos\theta a partir dos pares (d,h).
  2. Se \sigma for o valor tabelado (valor de superfície da água a 15{,}5^\circ\mathrm{C}), determinar \theta.
  3. Admitindo \theta=0^\circ, determinar \sigma.
Informações dadas que vou usar (retirei da tabela do enunciado):
\begin{array}{c|cccccc} d(\text{mm}) & 7{,}62 & 6{,}35 & 5{,}08 & 3{,}81 & 2{,}54 & 1{,}27\\hline h(\text{mm}) & 3{,}38 & 4{,}19 & 5{,}03 & 6{,}93 & 10{,}69 & 20{,}22 \end{array}
Outras constantes físicas que vou usar (valores tabelados/convencionais apropriados para 15{,}5^\circ\mathrm{C}):
\rho = 999{,}1\\ \mathrm{kg/m^3}\quad\text{(densidade da água a }15{,}5^\circ\mathrm{C}),á
g = 9{,}80665\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Vamos à teoria (explicando passo a passo). A elevação capilar h num tubo circular vertical de raio r acontece porque a pressão dentro do menisco é menor do que fora devido à tensão superficial. Duas relações fundamentais:
  1. Equilíbrio hidrostático entre a diferença de pressão do menisco e o peso da coluna elevada:
\Delta p = \rho g h.
Aqui \Delta p é a diferença de pressão entre a superfície livre distante e a pressão sob o menisco, \rho é a densidade do fluido e g a aceleração da gravidade.
  1. A relação de Young–Laplace para um menisco cilíndrico vinculado à parede fornece:
\Delta p = \frac{2\sigma\cos\theta}{r},
onde \sigma é a tensão superficial, \theta é o ângulo de contato (ângulo entre o líquido e a parede do tubo) e r é o raio interno do tubo. O fator \cos\theta aparece porque apenas a componente vertical da força de tensão superficial contribui para sustentar a coluna.
Igualando as duas expressões para \Delta p:
\rho g h = \frac{2\sigma\cos\theta}{r}.
Como o enunciado dá o diâmetro d (e d=2r), podemos reescrever em termos de d:
h = \frac{4\sigma\cos\theta}{\rho g d}.
Essa fórmula é a que usamos para relacionar os dados experimentais (d,h) com \sigma\cos\theta.

Passo 3

Isolando \sigma\cos\theta da fórmula:
\sigma\cos\theta = \frac{\rho g d h}{4}.
Explicando variáveis:
  • \sigma\cos\theta tem unidades de \mathrm{N/m}.
  • \rho em \mathrm{kg/m^3}, g em \mathrm{m/s^2}, d e h em metros; o produto \rho g d h dividido por 4 dá \mathrm{N/m}.
Plano: converter todos os d e h de milímetros para metros, calcular \sigma\cos\theta para cada par e então fazer uma média (com estimativa de dispersão).

Passo 4

Conversões e cálculo ponto a ponto. Usei os dados da tabela do enunciado (já citados). A constante que aparece frequentemente é
\frac{\rho g}{4} = \frac{999{,}1\cdot 9{,}80665}{4} \approx 2449{,}456\\ \mathrm{N/m^3}.
Agora converto d e h para metros ( 1\\ \text{mm}=10^{-3}\\ \text{m}) e calculo \sigma\cos\theta por cada par (d,h) usando \sigma\cos\theta = (\rho g/4)\,d\,h.
Cálculos (mostro um com detalhes e os demais resumidos):
  • Para d=7{,}62\\ \mathrm{mm}=0{,}00762\\ \mathrm{m} e h=3{,}38\\ \mathrm{mm}=0{,}00338\\ \mathrm{m}:
d\cdot h = 0{,}00762\cdot 0{,}00338 = 2{,}57796\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2},
\sigma\cos\theta = 2449{,}456\cdot 2{,}57796\times 10^{-5} \approx 0{,}063145\\ \mathrm{N/m}.
  • Para d=6{,}35\\ \mathrm{mm}=0{,}00635\\ \mathrm{m} e h=4{,}19\\ \mathrm{mm}=0{,}00419\\ \mathrm{m}:
\sigma\cos\theta \approx 0{,}065221\\ \mathrm{N/m}.
  • Para d=5{,}08\\ \mathrm{mm}=0{,}00508\\ \mathrm{m} e h=5{,}03\\ \mathrm{mm}=0{,}00503\\ \mathrm{m}:
\sigma\cos\theta \approx 0{,}062598\\ \mathrm{N/m}.
  • Para d=3{,}81\\ \mathrm{mm}=0{,}00381\\ \mathrm{m} e h=6{,}93\\ \mathrm{mm}=0{,}00693\\ \mathrm{m}:
\sigma\cos\theta \approx 0{,}064675\\ \mathrm{N/m}.
  • Para d=2{,}54\\ \mathrm{mm}=0{,}00254\\ \mathrm{m} e h=10{,}69\\ \mathrm{mm}=0{,}01069\\ \mathrm{m}:
\sigma\cos\theta \approx 0{,}066558\\ \mathrm{N/m}.
  • Para d=1{,}27\\ \mathrm{mm}=0{,}00127\\ \mathrm{m} e h=20{,}22\\ \mathrm{mm}=0{,}02022\\ \mathrm{m}:
\sigma\cos\theta \approx 0{,}062900\\ \mathrm{N/m}.
Observação: eu peguei os pares (d,h) diretamente da tabela fornecida no enunciado.

Passo 5

Média e dispersão dos valores calculados.
Valores obtidos (em \mathrm{N/m}):
0{,}063145,\;0{,}065221,\;0{,}062598,\;0{,}064675,\;0{,}066558,\;0{,}062900.
Média aritmética:
\overline{\sigma\cos\theta} \approx 0{,}064183\\ \mathrm{N/m}.
Desvio padrão amostral (para dar uma ideia da dispersão) resulta aproximadamente
s \approx 0{,}00150\\ \mathrm{N/m}.
Logo minha estimativa experimental é
\sigma\cos\theta \approx 0{,}06418 \pm 0{,}00150\\ \mathrm{N/m}.
Interpretação física: valores variam um pouco entre os tubos (efeitos de contaminação, precisão de medidas e aproximações da teoria), mas o resultado central está em torno de 0{,}064\\ \mathrm{N/m}.

Passo 6

Agora uso o valor tabelado de \sigma para água a 15{,}5^\circ\mathrm{C}. A partir de tabelas conhecidas, \sigma_{\text{tabela}}\approx 0{,}0735\\ \mathrm{N/m} (valor típico interpolado entre 10–20 °C). Com isso:
\cos\theta = \frac{\sigma\cos\theta}{\sigma_{\text{tabela}}} \approx \frac{0{,}06418}{0{,}0735} \approx 0{,}8737.
Convertendo para \theta:
\theta = \operatorname{arccos}(0{,}8737) \approx 29{,}4^\circ.
Estimando incerteza a partir do desvio em \sigma\cos\theta: com s=0{,}00150\\ \mathrm{N/m} a incerteza em \theta é cerca de \pm 2{,}4^\circ. Portanto
\theta \approx 29{,}4^\circ \pm 2{,}4^\circ.
Comentário físico: ângulo distinto de zero indica molhabilidade não perfeita — sujeira e impurezas no vidro elevam \theta (diminuem \cos\theta).

Passo 7

Se admitirmos \theta=0^\circ (molhabilidade perfeita, \cos\theta=1), então a estimativa experimental para \sigma vem diretamente de \sigma\cos\theta:
\sigma \approx \sigma\cos\theta \approx 0{,}06418 \pm 0{,}00150\\ \mathrm{N/m}.
Esse valor é menor que o valor tabelado ( \approx 0{,}0735\\ \mathrm{N/m}), o que indica que as condições experimentais (impurezas, sujeira no tubo) reduziram a ascensão capilar em relação ao ideal.

Resposta

\sigma\cos\theta \approx 0{,}06418\\ \mathrm{N/m}\ ( \pm 0{,}00150\\ \mathrm{N/m})
\theta \approx 29{,}4^\circ\\ (\text{usando }\sigma_{\text{tabela}}\approx 0{,}0735\\ \mathrm{N/m})
\sigma \approx 0{,}06418\\ \mathrm{N/m} (se \theta=0^\circ)

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