O “bombeamento capilar” depende muito da pureza do fluido e da limpeza do tubo. Normalmente, os valores medidos são menores que os obtidos de \Sigma F y=0 ( y é a coordenada vertical). A próxima tabela apresenta algumas medidas da altura h, de uma coluna de água num tubo vertical, aberto e com diâmetro interno igual a " d ". A água do ensaio era potável, a 15,5^{\circ} \mathrm{C} e não foi realizada qualquer operação para limpar o tubo de vidro. Estime, a partir destes dados, o valor de \sigma \cos \theta. Se o valor de \sigma é aquele fornecido nas tabelas de propriedades, qual é o valor de \theta ? Admitindo que \theta é igual a 0^{\circ}, qual é o valor de \sigma ?
d(\mathrm{~mm})
7,62
6,35
5,08
3,81
2,54
1,27
h(\mathrm{~mm})
3,38
4,19
5,03
6,93
10,69
20,22
Passo 1
O enunciado pede três coisas, usando os dados experimentais da tabela (que eu peguei da tabela fornecida pelo enunciado):
Estimar o valor de \sigma\cos\theta a partir dos pares (d,h).
Se \sigma for o valor tabelado (valor de superfície da água a 15{,}5^\circ\mathrm{C}), determinar \theta.
Admitindo \theta=0^\circ, determinar \sigma.
Informações dadas que vou usar (retirei da tabela do enunciado):
Outras constantes físicas que vou usar (valores tabelados/convencionais apropriados para 15{,}5^\circ\mathrm{C}):
\rho = 999{,}1\\ \mathrm{kg/m^3}\quad\text{(densidade da água a }15{,}5^\circ\mathrm{C}),
g = 9{,}80665\\ \mathrm{m/s^2}.
Passo 2
Vamos à teoria (explicando passo a passo). A elevação capilar h num tubo circular vertical de raio r acontece porque a pressão dentro do menisco é menor do que fora devido à tensão superficial. Duas relações fundamentais:
Equilíbrio hidrostático entre a diferença de pressão do menisco e o peso da coluna elevada:
\Delta p = \rho g h.
Aqui \Delta p é a diferença de pressão entre a superfície livre distante e a pressão sob o menisco, \rho é a densidade do fluido e g a aceleração da gravidade.
A relação de Young–Laplace para um menisco cilíndrico vinculado à parede fornece:
\Delta p = \frac{2\sigma\cos\theta}{r},
onde \sigma é a tensão superficial, \theta é o ângulo de contato (ângulo entre o líquido e a parede do tubo) e r é o raio interno do tubo. O fator \cos\theta aparece porque apenas a componente vertical da força de tensão superficial contribui para sustentar a coluna.
Igualando as duas expressões para \Delta p:
\rho g h = \frac{2\sigma\cos\theta}{r}.
Como o enunciado dá o diâmetro d (e d=2r), podemos reescrever em termos de d:
h = \frac{4\sigma\cos\theta}{\rho g d}.
Essa fórmula é a que usamos para relacionar os dados experimentais (d,h) com \sigma\cos\theta.
Passo 3
Isolando \sigma\cos\theta da fórmula:
\sigma\cos\theta = \frac{\rho g d h}{4}.
Explicando variáveis:
\sigma\cos\theta tem unidades de \mathrm{N/m}.
\rho em \mathrm{kg/m^3}, g em \mathrm{m/s^2}, d e h em metros; o produto \rho g d h dividido por 4 dá \mathrm{N/m}.
Plano: converter todos os d e h de milímetros para metros, calcular \sigma\cos\theta para cada par e então fazer uma média (com estimativa de dispersão).
Passo 4
Conversões e cálculo ponto a ponto. Usei os dados da tabela do enunciado (já citados). A constante que aparece frequentemente é
Agora converto d e h para metros (1\\ \text{mm}=10^{-3}\\ \text{m}) e calculo \sigma\cos\theta por cada par (d,h) usando \sigma\cos\theta = (\rho g/4)\,d\,h.
Cálculos (mostro um com detalhes e os demais resumidos):
Para d=7{,}62\\ \mathrm{mm}=0{,}00762\\ \mathrm{m} e h=3{,}38\\ \mathrm{mm}=0{,}00338\\ \mathrm{m}:
d\cdot h = 0{,}00762\cdot 0{,}00338 = 2{,}57796\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2},
Interpretação física: valores variam um pouco entre os tubos (efeitos de contaminação, precisão de medidas e aproximações da teoria), mas o resultado central está em torno de 0{,}064\\ \mathrm{N/m}.
Passo 6
Agora uso o valor tabelado de \sigma para água a 15{,}5^\circ\mathrm{C}. A partir de tabelas conhecidas, \sigma_{\text{tabela}}\approx 0{,}0735\\ \mathrm{N/m} (valor típico interpolado entre 10–20 °C). Com isso:
Esse valor é menor que o valor tabelado (\approx 0{,}0735\\ \mathrm{N/m}), o que indica que as condições experimentais (impurezas, sujeira no tubo) reduziram a ascensão capilar em relação ao ideal.