Bombeiam-se 0,15 m^3 / s de água através de uma tubulação de 0,25 m de diâmetro, de um reservatório aberto cujo nível d’água mantido constante está na cota 567,00 m. A tubulação passa por um ponto alto na cota 587,00 m. Calcule a potência, em kW , necessária à bomba, com rendimento de 75 %, para manter no ponto alto da tubulação uma pressão disponível de 147 kN / m^2, sabendo que, entre o reservatório e o ponto alto, a perda de carga é igual a 7,5 m.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o problema e ver o que precisamos:
Você tem água sendo bombeada de um reservatório aberto (nível em 567,00 m) até um ponto alto (cota 587,00 m), com vazão Q = 0,15 m³/s e diâmetro da tubulação D = 0,25 m. No ponto alto, a pressão deve ser p₂ = 147 kN/m² e as perdas de carga entre reservatório e esse ponto são hₗ = 7,5 m. A bomba tem rendimento η = 75 %.
Conteúdo: vamos usar a equação de Bernoulli modificada para incluir a carga da bomba e depois calcular a potência:
  1. calcular a velocidade e altura de carga (carga da bomba Hₚ),
  2. converter em potência hidráulica Pₕ = γ·Q·Hₚ,
  3. ajustar pela eficiência para achar a potência da bomba P_bomba = Pₕ/η.

Passo 2

Calcular área da seção e velocidade média
Área A = π·D²/4 = π·(0,25)²/4
Em LaTeX:
A = pi,(0.25)^24 approx 0,04909 m^2
Velocidade v = Q/A:
v = 0,150,04909 approx 3,06 m/s
Cabeça de velocidade (v²/2g):
v^22g = (3,06)^22cdot9,81 approx 0,48 m

Passo 3

Aplicar Bernoulli para achar a carga da bomba Hₚ
Fórmula geral (convertendo p₂/γ em altura):
Hp = p2gamma - p1gamma + (z2 - z1) + v2^2 - v1^22g + hell
Como o reservatório é aberto, p₁ = patm ⇒ p₁/γ ≃ 0, e v₁ ≃ 0.
1) p₂/γ = 147 000 N/m² ÷ (1000·9,81) ≃ 15,0 m
2) Δz = z₂ – z₁ = 587 – 567 = 20,0 m
3) velocidade: v₂²/(2g) ≃ 0,48 m
4) perdas hₗ = 7,5 m
Somando:
Hp = 15,0 + 20,0 + 0,48 + 7,5 = 42,98 m

Passo 4

Calcular potência hidráulica Pₕ e potência da bomba
Potência hidráulica:
Ph = gamma,Q,Hp = 1000cdot9,81cdot0,15cdot42,98 approx 63,3 kW
Como η = 75 %:
Prm bomba = Pheta = 63,30,75 approx 84,4 kW

Resposta

A potência que a bomba precisa entregar é aproximadamente 84,4 kW.

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