Exercício 44. Calcule \iint_{D} y d x d y, onde D é a região limitada pelas retas y=x-2, y=x+1, y=2-x e y=-x.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\iint_{D}y\,dx\,dy
onde D é o paralelogramo delimitado pelas retas \,y=x-2,\;y=x+1 (paralelas de coeficiente angular 1) e \,y=2-x,\;y=-x (paralelas de coeficiente angular -1).
Para facilitar, faremos uma mudança de variáveis linear que transforma essas retas em retas de coordenadas constantes.

Passo 2

Definimos
u = y - x \quad,\quad v = y + x.
Invertendo,
y = \frac{u+v}{2} \quad,\quad x = \frac{v - u}{2}.
O jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y) vale
\bigl|\det J\bigr| =\bigl| \det\begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\\ \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix} \bigr| =\bigl| (-\tfrac12)(\tfrac12)-(\tfrac12)(\tfrac12) \bigr| =\tfrac12.
Logo dx\,dy = \tfrac12\,du\,dv.

Passo 3

Nas novas variáveis, as equações das fronteiras ficam
y=x-2\;\Longrightarrow\;u=-2, \quad y=x+1\;\Longrightarrow\;u=1,
y=-x\;\Longrightarrow\;v=0, \quad y=2-x\;\Longrightarrow\;v=2.
Portanto o domínio em (u,v) é o retângulo
-2 \le u \le 1, \quad 0 \le v \le 2.

Passo 4

Reescrevendo a integral,
\iint_{D}y\,dx\,dy =\iint_{-2\le u\le1,\;0\le v\le2} \frac{u+v}{2}\;\frac12\,du\,dv =\frac14\int_{u=-2}^{1}\!\int_{v=0}^{2}(u+v)\,dv\,du.
Calculamos a integral interna:
\int_{0}^{2}(u+v)\,dv =\bigl[u\,v+\tfrac{v^2}{2}\bigr]_{0}^{2} =2u+2.
Logo
\iint_{D}y\,dx\,dy =\frac14\int_{-2}^{1}(2u+2)\,du =\frac14\bigl[u^2+2u\bigr]_{-2}^{1} =\frac14\bigl[(1+2)-(4-4)\bigr] =\frac{3}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}

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