Exercício 44. Calcule \iint_{D} y d x d y, onde D é a região limitada pelas retas y=x-2, y=x+1, y=2-x e y=-x.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
\iint_{D}y\,dx\,dy
onde D é o paralelogramo delimitado pelas retas \,y=x-2,\;y=x+1 (paralelas de coeficiente angular 1) e \,y=2-x,\;y=-x (paralelas de coeficiente angular -1).
Para facilitar, faremos uma mudança de variáveis linear que transforma essas retas em retas de coordenadas constantes.
Passo 2
Definimos
u = y - x \quad,\quad v = y + x.
Invertendo,
y = \frac{u+v}{2} \quad,\quad x = \frac{v - u}{2}.
O jacobiano da transformação (u,v)\mapsto(x,y) vale
\bigl|\det J\bigr| =\bigl| \det\begin{pmatrix} \partial x/\partial u & \partial x/\partial v\\\ \partial y/\partial u & \partial y/\partial v \end{pmatrix} \bigr| =\bigl| (-\tfrac12)(\tfrac12)-(\tfrac12)(\tfrac12) \bigr| =\tfrac12.
Logo dx\,dy = \tfrac12\,du\,dv.
Passo 3
Nas novas variáveis, as equações das fronteiras ficam