Um engenheiro precisa calcular a altura de um prédio. Ele observa que, a uma distância de 30 metros da base do prédio, o ângulo de elevação do topo é de
Qual é a altura do prédio?
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma única coisa:
- Dado: a distância horizontal da observação até a base do prédio é
. - Dado: o ângulo de elevação do topo do prédio, visto do ponto de observação ao nível do chão, é
. - Pedido: determinar a altura do prédio (em metros).
Passo 2
Vamos modelar a situação com um triângulo retângulo:
- Imagine um triângulo retângulo cuja base é a distância horizontal entre o observador e a base do prédio, que vale
. - A altura do prédio é o lado vertical do triângulo (o cateto oposto ao ângulo de elevação).
- O ângulo de elevação
é o ângulo agudo formado entre a base horizontal e a linha de visão até o topo.
Defino a variável:
O triângulo tem cateto adjacente de comprimento
e cateto oposto de comprimento
.
Passo 3
Usaremos a razão trigonométrica tangente, que relaciona o cateto oposto ao cateto adjacente num triângulo retângulo.
Definição (explicada): para um ângulo agudo num triângulo retângulo,
Definição (explicada): para um ângulo agudo
Aqui
, o cateto oposto é
e o cateto adjacente é
. Portanto a relação é
Passo 4
Precisamos conhecer o valor de
. Um jeito simples e exato de ver isso é lembrar do triângulo especial
:
- Num triângulo equilátero de lado
traçando a altura obtém-se dois triângulos com lados proporcionais a , onde: - o cateto oposto a
tem comprimento , - o cateto oposto a
tem comprimento , - a hipotenusa tem comprimento
.
Assim,
- o cateto oposto a
Passo 5
Substituindo
na equação do Passo 3:
Agora resolve-se para
multiplicando ambos os lados por
:
Essa é a forma exata da altura, em metros.
Passo 6
Se quiser uma aproximação numérica (útil para comparar ou apresentar resultado decimal), use
. Então