Um engenheiro precisa calcular a altura de um prédio. Ele observa que, a uma distância de 30 metros da base do prédio, o ângulo de elevação do topo é de 60^{\circ} Qual é a altura do prédio?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma única coisa:
  • Dado: a distância horizontal da observação até a base do prédio é \,30\\ \text{m}.
  • Dado: o ângulo de elevação do topo do prédio, visto do ponto de observação ao nível do chão, é \,60^\circ.
  • Pedido: determinar a altura do prédio (em metros).

Passo 2

Vamos modelar a situação com um triângulo retângulo:
  • Imagine um triângulo retângulo cuja base é a distância horizontal entre o observador e a base do prédio, que vale \,30\\ \text{m}.
  • A altura do prédio é o lado vertical do triângulo (o cateto oposto ao ângulo de elevação).
  • O ângulo de elevação \,60^\circ é o ângulo agudo formado entre a base horizontal e a linha de visão até o topo.
    Defino a variável:
h = \text{altura do prédio (m)}.é
O triângulo tem cateto adjacente de comprimento \,30\\ \text{m} e cateto oposto de comprimento \,h.

Passo 3

Usaremos a razão trigonométrica tangente, que relaciona o cateto oposto ao cateto adjacente num triângulo retângulo.
Definição (explicada): para um ângulo agudo \theta num triângulo retângulo,
\tan(\theta)=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.
Aqui \theta=60^\circ, o cateto oposto é h e o cateto adjacente é 30. Portanto a relação é
\tan(60^\circ)=\frac{h}{30}.

Passo 4

Precisamos conhecer o valor de \tan(60^\circ). Um jeito simples e exato de ver isso é lembrar do triângulo especial 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ:
  • Num triângulo equilátero de lado 2 traçando a altura obtém-se dois triângulos 30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ com lados proporcionais a 1:\sqrt{3}:2, onde:
    • o cateto oposto a 30^\circ tem comprimento 1,
    • o cateto oposto a 60^\circ tem comprimento \sqrt{3},
    • a hipotenusa tem comprimento 2.
      Assim,
\tan(60^\circ)=\frac{\text{cateto oposto a }60^\circ}{\text{cateto adjacente a }60^\circ}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}.

Passo 5

Substituindo \tan(60^\circ)=\sqrt{3} na equação do Passo 3:
\sqrt{3}=\frac{h}{30}.
Agora resolve-se para h multiplicando ambos os lados por 30:
h=30\sqrt{3}.
Essa é a forma exata da altura, em metros.

Passo 6

Se quiser uma aproximação numérica (útil para comparar ou apresentar resultado decimal), use \sqrt{3}\approx1,73205. Então
h\approx30\times1,73205\approx51,96\\ \text{m}.

Resposta

30\sqrt{3}\\ \text{m}
\approx 51,96\\ \text{m}

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