Uma escada de 6 metros está apoiada em uma parede, formando 60^{\circ} com o chão. Qual a distância até a parede?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dado: uma escada de 6 metros apoiada formando um ângulo de \,60^{\circ}\, com o chão.
  • Pergunta: qual a distância da base da escada até a parede? (ou seja, a distância horizontal entre a parede e o pé da escada).

Passo 2

Desenho mental e identificação dos lados do triângulo retângulo formado: a escada, a parede e o chão formam um triângulo retângulo onde
  • a escada é a hipotenusa; vou chamá-la de h. Aqui \,h=6 (metros).
  • a distância horizontal do pé da escada até a parede é o cateto adjacente ao ângulo na base; vou chamá-la de x (o que queremos achar).
  • o ângulo entre a escada e o chão é \theta=60^{\circ}.

Passo 3

Conceito necessário (explicação didática): em um triângulo retângulo, para um ângulo \theta usamos a razão trigonométrica cosseno que relaciona o cateto adjacente e a hipotenusa:
\cos\theta=\frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}.
Aqui isso significa
\cos\theta=\frac{x}{h}.
Explicando as letras: \theta é o ângulo em questão ( 60^{\circ}), x é a distância que queremos (cateto adjacente) e h é o comprimento da escada (hipotenusa, 6).

Passo 4

Isolando x na fórmula do cosseno obtemos a relação que vamos usar:
x = h\cos\theta.
Substituindo os valores conhecidos \,h=6 e \theta=60^{\circ}:
x = 6\cos(60^{\circ}).

Passo 5

Valor de \cos(60^{\circ}) (mini-aula): um modo simples de ver esse valor é lembrar do triângulo equilátero dividido ao meio. Num triângulo equilátero de lado 1, ao traçar a altura forma-se um triângulo retângulo com hipotenusa 1, cateto adjacente a 60^{\circ} igual a 1/2. Portanto
\cos(60^{\circ})=\tfrac{1}{2}.

Passo 6

Calcule x:
x = 6\cdot \tfrac{1}{2} = 3.
Como trabalhamos em metros, a distância até a parede é 3 metros. (Se quiser, dá para checar a altura alcançada na parede: seria 6\sin(60^{\circ})=6\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}, mas isso é só conferência, a pergunta pedia a distância horizontal.)

Resposta

3\\ \text{m}

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