Uma boneca foi deixada em um carrossel parado, a uma distância de 5.4 m do centro. O briquedo é ligado e logo atinge a velocidade normal de funcionamento, na qual completa cada volta em 5.0 s . Com base nestas informações, determine:
Qual deve ser o coeficiente de atrito estático entre a boneca e o carrossel para que ela nāo escorregue?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o coeficiente de atrito estático mínimo para que a boneca não escorregue:
  • A boneca está a uma distância do centro (raio) r = 5{,}4\\ \text{m}.
  • O carrossel completa uma volta em T = 5{,}0\\ \text{s} (período).
  • Queremos o coeficiente de atrito estático \mu_s mínimo tal que a boneca não escorregue quando o carrossel gira com essa velocidade.
  • Não foi dado g; vou usar o valor padrão g = 9{,}8\\ \text{m/s}^2.
    Nada mais foi pedido.

Passo 2

Conceito importante: movimento circular uniforme e aceleração centrípeta.
Quando um objeto descreve uma trajetória circular de raio r com velocidade tangencial v, ele sofre uma aceleração dirigida para o centro chamada aceleração centrípeta, dada por
a_c = \frac{v^2}{r}.
Aqui a_c é a aceleração (em \text{m/s}^2), v é a velocidade tangencial (em \text{m/s}) e r é o raio da curva (em \text{m}). Essa aceleração exige uma força resultante para o centro (força centrípeta) igual a F_c = m a_c = m\frac{v^2}{r}, onde m é a massa da boneca.

Passo 3

Conceito importante: atrito estático fornece a força horizontal que pode atuar para sustentar a força centrípeta.
A força de atrito estático máxima entre a boneca e o carrossel vale
F_{s,\max} = \mu_s N,
onde N é a força normal. No plano horizontal do carrossel, N = mg (peso, com g a aceleração da gravidade). Para que a boneca não escorregue, a força de atrito disponível deve ser ao menos igual à força centrípeta necessária:
\mu_s mg \ge m\frac{v^2}{r}.
Podemos cancelar m (a massa da boneca não foi dada e não é necessária), ficando a condição:
\mu_s \ge \frac{v^2}{rg}.

Passo 4

Expressão prática usando o período T. A velocidade tangencial v pode ser obtida a partir do período T pela relação
v = \frac{2\pi r}{T},
pois em uma volta percorre-se 2\pi r em tempo T. Substituindo v na condição para \mu_s obtemos
\mu_s \ge \frac{\left(\dfrac{2\pi r}{T}\right)^2}{rg} = \frac{4\pi^2 r}{T^2 g}.
Essa fórmula é muito prática: ela dá diretamente o coeficiente mínimo em função de r, T e g.

Passo 5

Agora vamos calcular numericamente. Substituindo r = 5{,}4\\ \text{m}, T = 5{,}0\\ \text{s} e g = 9{,}8\\ \text{m/s}^2 na expressão:
\mu_s \ge \frac{4\pi^2\cdot 5{,}4}{(5{,}0)^2\cdot 9{,}8}.
Calcule passo a passo:
T^2 = (5{,}0)^2 = 25,
4\pi^2 \approx 4\cdot 9{,}8696 = 39{,}4784,
4\pi^2\cdot 5{,}4 \approx 39{,}4784\cdot 5{,}4 = 213{,}18336,
T^2 g = 25\cdot 9{,}8 = 245.
Portanto
\mu_s \ge \frac{213{,}18336}{245} \approx 0{,}87054\ldots

Passo 6

Arredondando para três algarismos significativos (suficiente para uma resposta de prova), obtemos
\mu_s \ge 0{,}871.
Interpretação: o coeficiente de atrito estático entre a boneca e o carrossel precisa ser pelo menos 0{,}871 para que, na velocidade dada, a boneca não escorregue.

Resposta

\mu_s \ge 0{,}871

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