1. As ondas transversais se propagam a 150 \mathrm{~m} / \mathrm{s} num fio com 80 cm de comprimento sujeito a uma tensão de 550 N. Qual a massa do fio?
  2. Um pulso ondulatório se propaga num fio, na direção dos x positivos, a 20 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual será a velocidade do pulso se:
    (a) o comprimento do fio for duplicado, mantidas constantes a tensão e a densidade linear?
    (b) a tensão for duplicada, mantidos constantes o comprimento e a densidade linear do fio?

Passo 1

Vamos entender direitinho o que cada item pede e quais dados o enunciado fornece.
Para a questão 08:
  • Dados: velocidade da onda v=150\\ \mathrm{m/s}, comprimento do fio L=80\\ \mathrm{cm} e tensão T=550\\ \mathrm{N}.
  • Pedido: determinar a massa do fio.
Para a questão 09:
  • Dados iniciais: velocidade do pulso v_0=20\\ \mathrm{m/s}. Em (a) o comprimento do fio é duplicado, mantendo-se a tensão e a densidade linear constantes. Em (b) a tensão é duplicada, mantendo-se comprimento e densidade linear constantes.
  • Pedidos: determinar a nova velocidade do pulso em cada caso: (a) e (b).
Observações sobre os dados que converti para usar nos cálculos:
  • Converti L=80\\ \mathrm{cm} para metros: L=0,80\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Qual a fórmula que relaciona velocidade de uma onda transversal num fio esticado com as propriedades do fio?
A fórmula-chave é
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde:
  • v é a velocidade da onda (em \mathrm{m/s});
  • T é a tensão no fio (em \mathrm{N});
  • \mu é a densidade linear de massa do fio, isto é, massa por unidade de comprimento (em \mathrm{kg/m}).
Explicando essa fórmula de forma simples: quanto maior a tensão T, mais rápido se propaga a onda; quanto maior a massa por metro \mu, mais lenta ela fica — a raiz quadrada aparece por causa da forma como as forças e as acelerações se combinam nas pequenas parcelas do fio (não precisamos derivar aqui, mas fica como intuição).
Também sabemos que a massa total do fio m se relaciona com \mu por
\mu=\frac{m}{L}
ou, isolando m,
m=\mu L.

Passo 3

Como usar essas fórmulas para achar a massa do fio (questão 08)?
Começamos isolando \mu na fórmula da velocidade:
v^2=\frac{T}{\mu}\quad\Longrightarrow\quad \mu=\frac{T}{v^2}.
Agora substituímos em m=\mu L:
m=\left(\frac{T}{v^2}\right)L=\frac{T\,L}{v^2}.
Essa é a expressão prática que vamos usar: massa m em função de tensão T, comprimento L e velocidade v.

Passo 4

Cálculo numérico para a questão 08 — passo a passo, com contas fáceis de seguir.
Dados novamente em símbolos:
T=550\\ \mathrm{N},\qquad L=0,80\\ \mathrm{m},\qquad v=150\\ \mathrm{m/s}.
Substituindo em
m=\frac{T\,L}{v^2},
temos
m=\frac{550\times 0,80}{150^2}.
Calculemos as partes:
550\times 0,80 = 440.
150^2 = 22500.
Logo
m=\frac{440}{22500}.
Dividindo:
m=\frac{440}{22500}=\frac{44}{2250}=\frac{22}{1125}\approx 0,019555\\ \mathrm{kg}.
Convertendo para gramas (opcional, porque é uma massa pequena):
0,019555\\ \mathrm{kg}=19,555\\ \mathrm{g}\approx 19,56\\ \mathrm{g}.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida das unidades (sempre bom na prova): T em newtons ( \mathrm{kg\cdot m/s^2}), L em metros, v^2 em \mathrm{m^2/s^2}. Assim T\,L/v^2 tem dimensão \mathrm{kg}, OK.
Agora vamos à questão 09, que é mais sobre dependência algébrica do que cálculo numérico.

Passo 6

Analisando a dependência de v com os parâmetros do fio.
A fórmula é novamente
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}.
Note que o comprimento L não aparece explicitamente nessa fórmula: aparece apenas \mu, a densidade linear. Se a densidade linear \mu for mantida constante, alterar o comprimento do fio não muda \mu, logo não muda v. Por outro lado, se duplicarmos T (tensão), então v muda por um fator \sqrt{2}, porque a tensão entra dentro da raiz.

Passo 7

Resolvendo 09(a) — comprimento duplicado, T e \mu mantidos constantes.
Se \mu e T permanecem os mesmos, então
v_{\text{novo}}=\sqrt{\frac{T}{\mu}}=v_0.
Portanto a velocidade permanece v=20\\ \mathrm{m/s}.

Passo 8

Resolvendo 09(b) — tensão duplicada, L e \mu mantidos constantes.
Se agora T' = 2T e \mu não muda, então
v'=\sqrt{\frac{T'}{\mu}}=\sqrt{\frac{2T}{\mu}}=\sqrt{2}\,\sqrt{\frac{T}{\mu}}=\sqrt{2}\,v_0.
Numericamente, com v_0=20\\ \mathrm{m/s},
v'=\sqrt{2}\times 20\\ \mathrm{m/s}\approx 1,41421356\times 20\\ \mathrm{m/s}\approx 28,28\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

m\approx 0,01956\\ \mathrm{kg} (ou 19,56\\ \mathrm{g})
v_{(9a)}=20\\ \mathrm{m/s}
v_{(9b)}\approx 28,28\\ \mathrm{m/s}

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