- As ondas transversais se propagam a
num fio com 80 cm de comprimento sujeito a uma tensão de 550 N. Qual a massa do fio?
- Um pulso ondulatório se propaga num fio, na direção dos x positivos, a
. Qual será a velocidade do pulso se:
(a) o comprimento do fio for duplicado, mantidas constantes a tensão e a densidade linear?
(b) a tensão for duplicada, mantidos constantes o comprimento e a densidade linear do fio?
(a) o comprimento do fio for duplicado, mantidas constantes a tensão e a densidade linear?
(b) a tensão for duplicada, mantidos constantes o comprimento e a densidade linear do fio?
Passo 1
Vamos entender direitinho o que cada item pede e quais dados o enunciado fornece.
Para a questão 08:
- Dados: velocidade da onda
, comprimento do fio e tensão . - Pedido: determinar a massa do fio.
Para a questão 09:
- Dados iniciais: velocidade do pulso
. Em (a) o comprimento do fio é duplicado, mantendo-se a tensão e a densidade linear constantes. Em (b) a tensão é duplicada, mantendo-se comprimento e densidade linear constantes. - Pedidos: determinar a nova velocidade do pulso em cada caso: (a) e (b).
Observações sobre os dados que converti para usar nos cálculos:
- Converti
para metros: .
Passo 2
Qual a fórmula que relaciona velocidade de uma onda transversal num fio esticado com as propriedades do fio?
A fórmula-chave é
onde:
-
é a velocidade da onda (em ); -
é a tensão no fio (em ); -
é a densidade linear de massa do fio, isto é, massa por unidade de comprimento (em ).
Explicando essa fórmula de forma simples: quanto maior a tensão
, mais rápido se propaga a onda; quanto maior a massa por metro
, mais lenta ela fica — a raiz quadrada aparece por causa da forma como as forças e as acelerações se combinam nas pequenas parcelas do fio (não precisamos derivar aqui, mas fica como intuição).
Também sabemos que a massa total do fio
se relaciona com
por
ou, isolando
,
Passo 3
Como usar essas fórmulas para achar a massa do fio (questão 08)?
Começamos isolando
na fórmula da velocidade:
Agora substituímos em
:
Essa é a expressão prática que vamos usar: massa
em função de tensão
, comprimento
e velocidade
.
Passo 4
Cálculo numérico para a questão 08 — passo a passo, com contas fáceis de seguir.
Dados novamente em símbolos:
Substituindo em
temos
Calculemos as partes:
Logo
Dividindo:
Convertendo para gramas (opcional, porque é uma massa pequena):
Passo 5
Interpretação e verificação rápida das unidades (sempre bom na prova):
em newtons (
),
em metros,
em
. Assim
tem dimensão
, OK.
Agora vamos à questão 09, que é mais sobre dependência algébrica do que cálculo numérico.
Passo 6
Analisando a dependência de
com os parâmetros do fio.
A fórmula é novamente
Note que o comprimento
não aparece explicitamente nessa fórmula: aparece apenas
, a densidade linear. Se a densidade linear
for mantida constante, alterar o comprimento do fio não muda
, logo não muda
. Por outro lado, se duplicarmos
(tensão), então
muda por um fator
, porque a tensão entra dentro da raiz.
Passo 7
Resolvendo 09(a) — comprimento duplicado,
e
mantidos constantes.
Se
e
permanecem os mesmos, então
Portanto a velocidade permanece
.
Passo 8
Resolvendo 09(b) — tensão duplicada,
e
mantidos constantes.
Se agora
e
não muda, então
Numericamente, com
,