Questão 1. A posição de um objeto é dada por
, em que
e
e
estão em unidades do SI. Qual é a aceleração instantânea do objeto quando
?
Passo 1
O enunciado dá a posição do objeto em função do tempo:
com os parâmetros (em unidades do SI):
,
e
. A pergunta é: qual é a aceleração instantânea do objeto quando
?
Passo 2
O que significa “aceleração instantânea”? É a taxa de variação da velocidade em um instante. Em termos de cálculo, a aceleração instantânea é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Antes de derivar, lembro duas regras simples e fundamentais que vamos usar:
- Regra do polinômio (power rule): a derivada de
em relação a é . - Linearidade: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e constantes multiplicativas saem da derivada.
Vou aplicar essas regras passo a passo.
Passo 3
Primeiro encontramos a velocidade
, que é a primeira derivada de
:
Aplicando a regra do polinômio e a linearidade:
-
. -
. -
.
Logo,
Passo 4
Agora derivamos
para obter a aceleração
:
Aplicando as mesmas regras:
-
. -
. -
porque é constante.
Portanto a fórmula geral da aceleração é
Passo 5
Agora avaliamos essa expressão no instante pedido
. Substituindo os valores dados:
Com
e
temos:
Subtraindo:
Passo 6
Não esqueça das unidades: como
está em metros e
em segundos, a segunda derivada tem unidades de metros por segundo ao quadrado. Logo o valor calculado corresponde a
. É um valor positivo, o que indica que, naquele instante, a velocidade do objeto está aumentando.