Questão 1. A posição de um objeto é dada por x=a t^{3}-b t^{2}+c t, em que a=4.1 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-3}, b=2.2 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}, c=1.7 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} e x e t estão em unidades do SI. Qual é a aceleração instantânea do objeto quando t=0.7 \mathrm{~s} ?

Passo 1

O enunciado dá a posição do objeto em função do tempo:
x(t)=a\,t^{3}-b\,t^{2}+c\,t
com os parâmetros (em unidades do SI): a=4,1\\ \mathrm{m\,s^{-3}}, b=2,2\\ \mathrm{m\,s^{-2}} e c=1,7\\ \mathrm{m\,s^{-1}}. A pergunta é: qual é a aceleração instantânea do objeto quando t=0,7\\ \mathrm{s}?

Passo 2

O que significa “aceleração instantânea”? É a taxa de variação da velocidade em um instante. Em termos de cálculo, a aceleração instantânea é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Antes de derivar, lembro duas regras simples e fundamentais que vamos usar:
  • Regra do polinômio (power rule): a derivada de t^{n} em relação a t é n\,t^{n-1}.
  • Linearidade: a derivada de uma soma é a soma das derivadas, e constantes multiplicativas saem da derivada.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Primeiro encontramos a velocidade v(t), que é a primeira derivada de x(t):
v(t)=\dot{x}(t)=\frac{d}{dt}\bigl(a\,t^{3}-b\,t^{2}+c\,t\bigr).
Aplicando a regra do polinômio e a linearidade:
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(a\,t^{3}\bigr)=a\cdot 3t^{2}=3a\,t^{2}.
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(-b\,t^{2}\bigr)=-b\cdot 2t=-2b\,t.
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(c\,t\bigr)=c.
    Logo,
v(t)=3a\,t^{2}-2b\,t+c.

Passo 4

Agora derivamos v(t) para obter a aceleração \,a_{\text{inst}}(t)=\ddot{x}(t):
\ddot{x}(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3a\,t^{2}-2b\,t+c\bigr).
Aplicando as mesmas regras:
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(3a\,t^{2}\bigr)=3a\cdot 2t=6a\,t.
  • \dfrac{d}{dt}\bigl(-2b\,t\bigr)=-2b.
  • \dfrac{d}{dt}\text{(c)}=0 porque c é constante.
    Portanto a fórmula geral da aceleração é
\ddot{x}(t)=6a\,t-2b.

Passo 5

Agora avaliamos essa expressão no instante pedido t=0,7\\ \mathrm{s}. Substituindo os valores dados:
\ddot{x}(0,7)=6\cdot a\cdot 0,7 - 2\cdot b.
Com a=4,1 e b=2,2 temos:
6\cdot 4,1 = 24,6,
24,6\cdot 0,7 = 17,22\quad(\text{usei }24,6\times 0,7=\tfrac{24,6\times 7}{10}= \tfrac{172,2}{10}=17,22),
2\cdot 2,2 = 4,4.
Subtraindo:
\ddot{x}(0,7)=17,22-4,4=12,82.

Passo 6

Não esqueça das unidades: como x está em metros e t em segundos, a segunda derivada tem unidades de metros por segundo ao quadrado. Logo o valor calculado corresponde a 12,82\\ \mathrm{m\,s^{-2}}. É um valor positivo, o que indica que, naquele instante, a velocidade do objeto está aumentando.

Resposta

12,82\\ \mathrm{m\,s^{-2}}

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