Bônus: Determine um fator integrante na forma
para a equação
Dica: multiplique a equação por
e observe o que precisa acontecer para a equação ser exata.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! O problema pede para encontrar um fator integrante na forma $ h(x, y) = x^{n} \cdot y^{m} $ que torne a equação dada exata. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como aplicar um fator integrante para transformá-la nessa forma desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que nos foi dada:
Aqui, identificamos os termos que multiplicam $ dx $ e $ dy $:
Passo 3
Para que a equação seja exata, a condição $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $ deve ser satisfeita. No entanto, como a equação original não é exata, vamos procurar um fator integrante $ h(x, y) = x^{n} \cdot y^{m} $ que, ao multiplicarmos a equação por $ h $, torne-a exata.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por $ h(x, y) $:
Agora, a nova condição para exatidão é:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 5
Primeiro, calculamos $ \frac{\partial}{\partial y} (h \cdot M) $:
Expandindo e derivando:
Agora, calculamos $ \frac{\partial}{\partial x} (h \cdot N) $:
Usando a regra do produto:
Passo 6
Igualamos as duas expressões para garantir a exatidão:
Dividindo ambos os lados por $ x^{n} y^{m} $:
Para que isso seja válido para todos os $ x $ e $ y $, os coeficientes das potências de $ y $ e de $ \ln(x) $ devem ser iguais. Observamos que, para eliminar o termo com $ \ln(x) $, precisamos que $ n + 1 = 0 $, ou seja, $ n = -1 $.
Com $ n = -1 $, a equação simplifica para:
Expandindo:
Igualando os coeficientes:
Para $ y^{3} $: $ m + 4 = 0 $ → $ m = -4 $
Resposta
O fator integrante procurado é $ h(x, y) = x^{-1} \cdot y^{-4} $.