Bônus: Determine um fator integrante na forma h(x, y)=x^n cdot y^m para a equação
y^2(y^2+1) d x+x(y^2-1) ln (x) d y=0
Dica: multiplique a equação por h e observe o que precisa acontecer para a equação ser exata.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! O problema pede para encontrar um fator integrante na forma $ h(x, y) = x^{n} \cdot y^{m} $ que torne a equação dada exata. Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como aplicar um fator integrante para transformá-la nessa forma desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação diferencial que nos foi dada:
y^2(y^2 + 1) , dx + x(y^2 - 1) ln(x) , dy = 0
Aqui, identificamos os termos que multiplicam $ dx $ e $ dy $:
dx
dy

Passo 3

Para que a equação seja exata, a condição $ \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} $ deve ser satisfeita. No entanto, como a equação original não é exata, vamos procurar um fator integrante $ h(x, y) = x^{n} \cdot y^{m} $ que, ao multiplicarmos a equação por $ h $, torne-a exata.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por $ h(x, y) $:
h(x, y)
Agora, a nova condição para exatidão é:
h(x, y) cdot M , dx + h(x, y) cdot N , dy = 0
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 5

Primeiro, calculamos $ \frac{\partial}{\partial y} (h \cdot M) $:
partialpartial y (h cdot M)
Expandindo e derivando:
partialpartial y (x^n y^m cdot y^2(y^2 + 1)) = x^n cdot partialpartial y (y^m + 2(y^2 + 1))
= x^n [ (m + 2) y^m + 1(y^2 + 1) + y^m + 2 cdot 2y ]
= x^n y^m + 1 [ (m + 2)(y^2 + 1) + 2y^2 ]
= x^n y^m + 1 [ (m + 2)y^2 + (m + 2) + 2y^2 ]
Agora, calculamos $ \frac{\partial}{\partial x} (h \cdot N) $:
= x^n y^m + 1 [ (m + 4)y^2 + (m + 2) ]
Usando a regra do produto:
partialpartial x (h cdot N)
partialpartial x (x^n y^m cdot x(y^2 - 1) ln(x)) = partialpartial x (x^n + 1 y^m (y^2 - 1) ln(x))

Passo 6

Igualamos as duas expressões para garantir a exatidão:
x^n y^m + 1 [ (m + 4)y^2 + (m + 2) ] = x^n y^m (y^2 - 1) + (n + 1) x^n y^m (y^2 - 1) ln(x)
Dividindo ambos os lados por $ x^{n} y^{m} $:
x^n y^m
Para que isso seja válido para todos os $ x $ e $ y $, os coeficientes das potências de $ y $ e de $ \ln(x) $ devem ser iguais. Observamos que, para eliminar o termo com $ \ln(x) $, precisamos que $ n + 1 = 0 $, ou seja, $ n = -1 $.
Com $ n = -1 $, a equação simplifica para:
y [ (m + 4)y^2 + (m + 2) ] = (y^2 - 1) + (n + 1)(y^2 - 1) ln(x)
Expandindo:
x
Igualando os coeficientes:
Para $ y^{3} $: $ m + 4 = 0 $ → $ m = -4 $

Resposta

O fator integrante procurado é $ h(x, y) = x^{-1} \cdot y^{-4} $.

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