Classifique todos os pontos críticos da função
f(x, y)=12 x^3+y^3-9 x^2 y-3 y

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A função que temos é:
f(x, y) = 12x^3 + y^3 - 9x^2y - 3y
Precisamos encontrar todos os pontos críticos dessa função e classificá-los. Para isso, vamos utilizar conceitos de Cálculo Multivariável, especialmente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Ou seja, precisamos calcular $ f_{x} $ e $ f_{y} $ e resolver:
x

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
fx = partial fpartial x = 36x^2 - 18xy
fy = partial fpartial y = 3y^2 - 9x^2 - 3
Agora, igualamos cada uma a zero:
36x^2 - 18xy = 0 (1)
3y^2 - 9x^2 - 3 = 0 (2)

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações.
Da equação (1):
36x^2 - 18xy = 0 Rightarrow 18x(2x - y) = 0
Isso nos dá duas possibilidades:
  1. $ x = 0 $
  2. $ y = 2x $
Caso 1: $ x = 0 $
Substituindo na equação (2):
x = 0
Portanto, temos os pontos críticos $ (0, 1) $ e $ (0, -1) $.
Caso 2: $ y = 2x $
Substituindo na equação (2):
y = 2x
Então, $ y = 2(\pm 1) = \pm 2 $, resultando nos pontos críticos $ (1, 2) $ e $ (-1, -2) $.

Passo 5

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as derivadas de segunda ordem:
fxx = partial^2fpartial x^2 = 72x - 18y
fyy = partial^2fpartial y^2 = 6y
fxy = partial^2fpartial x partial y = -18x
O determinante da matriz Hessiana $ D $ é dado por:
D
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico.

Passo 6

Ponto (0, 1):
fxx = 72(0) - 18(1) = -18
fyy = 6(1) = 6
fxy = -18(0) = 0
D = (-18)(6) - (0)^2 = -108 < 0
Como $ D < 0 $, o ponto $ (0, 1) $ é um ponto de sela.

Ponto (0, -1):
D < 0
(0, 1)
fxx = 72(0) - 18(-1) = 18
fyy = 6(-1) = -6
Como $ D < 0 $, o ponto $ (0, -1) $ é um ponto de sela.

Ponto (1, 2):
fxy = -18(0) = 0
D = (18)(-6) - (0)^2 = -108 < 0
D < 0
(0, -1)
Além disso, como $ f_{xx} = 36 > 0 $, o ponto $ (1, 2) $ é um mínimo local.

Ponto (-1, -2):
fxx = 72(1) - 18(2) = 72 - 36 = 36
fyy = 6(2) = 12
fxy = -18(1) = -18
D = (36)(12) - (-18)^2 = 432 - 324 = 108 > 0
Além disso, como $ f_{xx} = -36 < 0 $, o ponto $ (-1, -2) $ é um máximo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • $ (0, 1) $: ponto de sela;
  • $ (0, -1) $: ponto de sela;
  • $ (1, 2) $: mínimo local;
  • $ (-1, -2) $: máximo local.

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