Classifique todos os pontos críticos da função
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. A função que temos é:
Precisamos encontrar todos os pontos críticos dessa função e classificá-los. Para isso, vamos utilizar conceitos de Cálculo Multivariável, especialmente derivadas parciais e o teste da segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Pontos críticos ocorrem onde as derivadas parciais em relação a $ x $ e $ y $ são iguais a zero. Ou seja, precisamos calcular $ f_{x} $ e $ f_{y} $ e resolver:
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Agora, igualamos cada uma a zero:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações.
Da equação (1):
Isso nos dá duas possibilidades:
- $ x = 0 $
- $ y = 2x $
Caso 1: $ x = 0 $
Substituindo na equação (2):
Portanto, temos os pontos críticos $ (0, 1) $ e $ (0, -1) $.
Caso 2: $ y = 2x $
Substituindo na equação (2):
Então, $ y = 2(\pm 1) = \pm 2 $, resultando nos pontos críticos $ (1, 2) $ e $ (-1, -2) $.
Passo 5
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, calculamos as derivadas de segunda ordem:
O determinante da matriz Hessiana $ D $ é dado por:
Vamos calcular $ D $ para cada ponto crítico.
Passo 6
Ponto (0, 1):
Como $ D < 0 $, o ponto $ (0, 1) $ é um ponto de sela.
Ponto (0, -1):
Como $ D < 0 $, o ponto $ (0, -1) $ é um ponto de sela.
Ponto (1, 2):
Além disso, como $ f_{xx} = 36 > 0 $, o ponto $ (1, 2) $ é um mínimo local.
Ponto (-1, -2):
Além disso, como $ f_{xx} = -36 < 0 $, o ponto $ (-1, -2) $ é um máximo local.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
- $ (0, 1) $: ponto de sela;
- $ (0, -1) $: ponto de sela;
- $ (1, 2) $: mínimo local;
- $ (-1, -2) $: máximo local.