Seja
uma função definida implicitamente por
, onde
é uma constante real. Se
, o valor de
é igual a:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar o valor de $ c + \frac{\partial f}{\partial x}(1,0) $ onde $ z = f(x, y) $ é definido implicitamente pela equação $ xz + ye^{x} = z^{2} + cx $. Aqui, vamos usar conceitos de funções implícitas e derivadas parciais para resolver. Precisaremos entender como derivar uma equação que relaciona $ x $, $ y $ e $ z $ de forma implícita.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir os valores dados na equação para encontrar o valor de $ c $. Sabemos que $ f(1,0) = 3 $, ou seja, quando $ x = 1 $ e $ y = 0 $, $ z = 3 $. Vamos substituir esses valores na equação original:
Substituindo $ x = 1 $, $ y = 0 $ e $ z = 3 $:
Simplificando:
Então:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada parcial $ \frac{\partial f}{\partial x}(1,0) $. Para isso, vamos derivar implicitamente a equação original com relação a $ x $. Lembre-se que $ z = f(x, y) $, então $ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} $.
Derivando cada termo da equação $ xz + y e^{x} = z^{2} + cx $ em relação a $ x $:
Calculando cada derivada:
- $ \frac{d}{dx}(xz) = z + x \frac{\partial z}{\partial x} $ (produto de duas funções)
- $ \frac{d}{dx}(y e^{x}) = y e^{x} $ (porque $ y $ é tratado como constante)
- $ \frac{d}{dx}(z^{2}) = 2z \frac{\partial z}{\partial x} $ (regra da cadeia)
- $ \frac{d}{dx}(c x) = c $ (derivada de $ c x $ em relação a $ x $)
Substituindo de volta:
Passo 4
Agora, queremos encontrar $ \frac{\partial z}{\partial x} $ em $ (1,0) $. Vamos substituir $ x = 1 $, $ y = 0 $, $ z = 3 $ e $ c = -6 $ na equação que obtivemos:
Simplificando:
Vamos resolver para $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
Resposta
O valor de $ c + \frac{\partial f}{\partial x}(1,0) $ é igual a $ -6 + 1.8 = -4.2 $.