Seja z=f(x, y) uma função definida implicitamente por xz+ye^x=z^2+cx, onde c é uma constante real. Se f(1,0)=3, o valor de c+partial fpartial x(1,0) é igual a:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar o valor de $ c + \frac{\partial f}{\partial x}(1,0) $ onde $ z = f(x, y) $ é definido implicitamente pela equação $ xz + ye^{x} = z^{2} + cx $. Aqui, vamos usar conceitos de funções implícitas e derivadas parciais para resolver. Precisaremos entender como derivar uma equação que relaciona $ x $, $ y $ e $ z $ de forma implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir os valores dados na equação para encontrar o valor de $ c $. Sabemos que $ f(1,0) = 3 $, ou seja, quando $ x = 1 $ e $ y = 0 $, $ z = 3 $. Vamos substituir esses valores na equação original:
c
Substituindo $ x = 1 $, $ y = 0 $ e $ z = 3 $:
f(1,0) = 3
Simplificando:
x = 1
Então:
y = 0

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada parcial $ \frac{\partial f}{\partial x}(1,0) $. Para isso, vamos derivar implicitamente a equação original com relação a $ x $. Lembre-se que $ z = f(x, y) $, então $ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} $.
Derivando cada termo da equação $ xz + y e^{x} = z^{2} + cx $ em relação a $ x $:
partial fpartial x(1,0)
Calculando cada derivada:
  1. $ \frac{d}{dx}(xz) = z + x \frac{\partial z}{\partial x} $ (produto de duas funções)
  2. $ \frac{d}{dx}(y e^{x}) = y e^{x} $ (porque $ y $ é tratado como constante)
  3. $ \frac{d}{dx}(z^{2}) = 2z \frac{\partial z}{\partial x} $ (regra da cadeia)
  4. $ \frac{d}{dx}(c x) = c $ (derivada de $ c x $ em relação a $ x $)
Substituindo de volta:
x

Passo 4

Agora, queremos encontrar $ \frac{\partial z}{\partial x} $ em $ (1,0) $. Vamos substituir $ x = 1 $, $ y = 0 $, $ z = 3 $ e $ c = -6 $ na equação que obtivemos:
partial zpartial x
Simplificando:
(1,0)
Vamos resolver para $ \frac{\partial z}{\partial x} $:
x = 1
y = 0
z = 3

Resposta

O valor de $ c + \frac{\partial f}{\partial x}(1,0) $ é igual a $ -6 + 1.8 = -4.2 $.

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