Determine os seguintes limites utilizando a Regra de LHôspital:
lim x 1 / 2 6 x^2+5 x-44 x^2+16 x-9

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 12 6 x^2+5 x-44 x^2+16 x-9
Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites e vamos usar a Regra de L’Hôspital para encontrar a resposta. A Regra de L’Hôspital é útil quando temos uma forma indeterminada como $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar qual é o comportamento da função quando $ x $ se aproxima de $ \frac{1}{2} $. Vamos substituir $ x = \frac{1}{2} $ no numerador e no denominador:
Numerador:
x
Denominador:
12
Como tanto o numerador quanto o denominador dão 0 quando $ x = \frac{1}{2} $, temos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $. Aí é que entra a Regra de L’Hôspital!

Passo 3

A Regra de L’Hôspital nos diz que, se temos:
lim x a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty
Então, podemos derivar o numerador e o denominador e calcular o limite das derivadas:
lim x a f'(x)g'(x)
Vamos aplicar isso no nosso caso.

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador ($ f(x) = 6x^{2} + 5x - 4 $):
f(x) = 6x^2 + 5x - 4
Derivada do denominador ($ g(x) = 4x^{2} + 16x - 9 $):
f'(x) = ddx(6x^2) + ddx(5x) - ddx(4) = 12x + 5

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de L’Hôspital substituindo as derivadas:
lim x 12 12x + 58x + 16
Vamos substituir $ x = \frac{1}{2} $ nessa nova expressão.

Passo 6

Substituindo $ x = \frac{1}{2} $:
Numerador:
x = 12
Denominador:
12 (12) + 5 = 6 + 5 = 11
Então, temos:
8 (12) + 16 = 4 + 16 = 20

Resposta

O limite é $ \frac{11}{20} $.

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