Determine os seguintes limites utilizando a Regra de LHôspital:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo de Limites e vamos usar a Regra de L’Hôspital para encontrar a resposta. A Regra de L’Hôspital é útil quando temos uma forma indeterminada como $ \frac{0}{0} $ ou $ \frac{\infty}{\infty} $.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar qual é o comportamento da função quando $ x $ se aproxima de $ \frac{1}{2} $. Vamos substituir $ x = \frac{1}{2} $ no numerador e no denominador:
Numerador:
Denominador:
Como tanto o numerador quanto o denominador dão 0 quando $ x = \frac{1}{2} $, temos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $. Aí é que entra a Regra de L’Hôspital!
Passo 3
A Regra de L’Hôspital nos diz que, se temos:
Então, podemos derivar o numerador e o denominador e calcular o limite das derivadas:
Vamos aplicar isso no nosso caso.
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador.
Derivada do numerador ($ f(x) = 6x^{2} + 5x - 4 $):
Derivada do denominador ($ g(x) = 4x^{2} + 16x - 9 $):
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra de L’Hôspital substituindo as derivadas:
Vamos substituir $ x = \frac{1}{2} $ nessa nova expressão.
Passo 6
Substituindo $ x = \frac{1}{2} $:
Numerador:
Denominador:
Então, temos:
Resposta
O limite é $ \frac{11}{20} $.