Seja C o segmento de reta indo de (1,2,3) a (3,-1,1).
Calcule a integral integralC x y d z.

Passo 1

Então, temos o seguinte problema: queremos calcular a integral de linha integralC x y , dz, onde C é o segmento de reta que vai do ponto (1, 2, 3) até o ponto (3, -1, 1). Esse exercício está relacionado com o cálculo de integrais de linha no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o caminho C, expressar x, y e z em termos de um parâmetro, e então substituir esses valores na integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar o segmento de reta C. Vamos usar um parâmetro t que varia de 0 a 1, onde t = 0 corresponde ao ponto inicial (1, 2, 3) e t = 1 ao ponto final (3, -1, 1).
A parametrização fica assim:
x(t) = 1 + (3 - 1)t = 1 + 2t y(t) = 2 + (-1 - 2)t = 2 - 3t z(t) = 3 + (1 - 3)t = 3 - 2t
Aqui, calculamos a variação de cada coordenada multiplicando a diferença entre os pontos pelo parâmetro t.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de z(t) em relação a t, que é dz/dt. A função z(t) é 3 - 2t, então:
dzdt = -2
Essa derivada nos ajuda a expressar dz em termos de dt, o que é necessário para substituir na integral.

Passo 4

Substituímos as expressões de x(t), y(t) e dz na integral original:
integralC x y , dz = integral0^1 x(t) , y(t) , dzdt , dt
Substituindo as funções parametrizadas:
integral0^1 (1 + 2t) cdot (2 - 3t) cdot (-2) , dt

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(1 + 2t)(2 - 3t) = 2 - 3t + 4t - 6t^2 = 2 + t - 6t^2
Multiplicando por -2:
-2(2 + t - 6t^2) = -4 - 2t + 12t^2
Então, a integral fica:
integral0^1 (-4 - 2t + 12t^2) , dt

Passo 6

Agora, integramos termo a termo:
integral0^1 (-4) , dt = -4t |0^1 = -4(1) + 4(0) = -4
integral0^1 (-2t) , dt = -2 cdot t^22 |0^1 = -t^2 |0^1 = -1 + 0 = -1
integral0^1 12t^2 , dt = 12 cdot t^33 |0^1 = 4t^3 |0^1 = 4(1) - 4(0) = 4
Somando todos os resultados:
-4 - 1 + 4 = -1

Resposta

O valor da integral integralC x y , dz é -1.

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