Seja o segmento de reta indo de a .
Calcule a integral .
Passo 1
Então, temos o seguinte problema: queremos calcular a integral de linha , onde é o segmento de reta que vai do ponto até o ponto . Esse exercício está relacionado com o cálculo de integrais de linha no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar parametrizar o caminho , expressar , e em termos de um parâmetro, e então substituir esses valores na integral.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar o segmento de reta . Vamos usar um parâmetro que varia de 0 a 1, onde corresponde ao ponto inicial e ao ponto final .
A parametrização fica assim:
Aqui, calculamos a variação de cada coordenada multiplicando a diferença entre os pontos pelo parâmetro t.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de z(t) em relação a t, que é dz/dt. A função z(t) é 3 - 2t, então:
dzdt = -2
Essa derivada nos ajuda a expressar dz em termos de dt, o que é necessário para substituir na integral.
Passo 4
Substituímos as expressões de x(t), y(t) e dz na integral original:
integralC x y , dz = integral0^1 x(t) , y(t) , dzdt , dt