Bônus: Sabendo que f é uma função contínua que satisfaz a relação f(3 x)=3 f(x), para todo x. E, dado que:
I=integral0^1 f(x) d x=1
Determine o valor da integral:
J=integral1^3 f(x) d x

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função contínua f que satisfaz f(3x)=3f(x) para todo x, e que
I=integral0^1 f(x),dx=1
Precisamos encontrar
J=integral1^3 f(x),dx

Passo 2

Para aproveitar a relação funcional na integral, vamos calcular
integral0^3 f(x),dx
por mudança de variável. Seja x=3u, então dx=3,du e, quando x vai de 0 a 3, u vai de 0 a 1. Logo:
integral0^3 f(x),dx=integral0^1 f(3u)cdot3,du
Como f(3u)=3f(u),
integral0^3 f(x),dx=3integral0^1 3f(u),du=9integral0^1 f(u),du=9I=9

Passo 3

Agora usamos que
integral0^3 f(x),dx=integral0^1 f(x),dx+integral1^3 f(x),dx=I+J
Como vimos, integral0^3 f(x),dx=9 e I=1, segue que
I+J=9Longrightarrow J=9-1=8

Resposta

8

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