(2,5) Escreva o Sistema de Equagoes Diferenciais abaizo em sua representaçǎo matricial e encontre uma solução geral.
l x1^prime=x2 x2^prime=-x1+2 x2

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais:
l x1^prime=x2 x2^prime=-x1+2 x2
O que precisamos fazer é:
  1. Escrever esse sistema na forma matricial.
  2. Encontrar a solução geral desse sistema.
Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e sistemas de equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações diferenciais na forma matricial. Para isso, representamos as derivadas e as variáveis em uma matriz.
Temos:
x1^prime = x2 x2^prime = -x1 + 2x2
Podemos escrever isso como:
x^prime = A x
Onde:
x = x1 x2 , A = 0 & 1 -1 & 2

Passo 3

Agora, para encontrar a solução geral do sistema, precisamos resolver a equação det(A - lambda I) = 0 . Isso geralmente envolve encontrar os autovalores e os autovetores da matriz .
Primeiro, vamos encontrar os autovalores ( ) resolvendo o determinante da matriz igual a zero:
Onde é a matriz identidade.

Passo 4

Calculando o determinante:
A - lambda I = -lambda & 1 -1 & 2 - lambda
Então,
det(A - lambda I) = (-lambda)(2 - lambda) - (1)(-1) = lambda^2 - 2lambda + 1
Igualando a zero:
lambda^2 - 2lambda + 1 = 0

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática:
lambda^2 - 2lambda + 1 = 0 implies (lambda - 1)^2 = 0 implies lambda = 1
Então, temos um autovalor repetido .

Passo 6

Com um autovalor repetido, precisamos encontrar os autovetores correspondentes. Vamos resolver -1 & 1 -1 & 1 v1 v2 = 0 0 :
- v1 + v2 = 0 implies v2 = v1
Isso reduz para:
v = 1 1
Então, os autovetores são da forma:

Passo 7

Como temos um autovalor repetido com apenas um autovetor independente, precisamos encontrar uma solução generalizada. A solução geral do sistema é dada por:
x(t) = (C1 + C2 t) e^lambda t v
Onde e são constantes arbitrárias.

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = (C1 + C2 t) e^t 1 1
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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