Escreva o Sistema de Equagoes Diferenciais abaizo em sua representaçǎo matricial e encontre uma solução geral.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um sistema de equações diferenciais:
O que precisamos fazer é:
- Escrever esse sistema na forma matricial.
- Encontrar a solução geral desse sistema.
Para isso, vamos usar conceitos de matrizes e sistemas de equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações diferenciais na forma matricial. Para isso, representamos as derivadas e as variáveis em uma matriz.
Temos:
Podemos escrever isso como:
Onde:
Passo 3
Agora, para encontrar a solução geral do sistema, precisamos resolver a equação
. Isso geralmente envolve encontrar os autovalores e os autovetores da matriz
.
Primeiro, vamos encontrar os autovalores (
) resolvendo o determinante da matriz
igual a zero:
Onde
é a matriz identidade.
Passo 4
Calculando o determinante:
Então,
Igualando a zero:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática:
Então, temos um autovalor repetido
.
Passo 6
Com um autovalor repetido, precisamos encontrar os autovetores correspondentes. Vamos resolver
:
Isso reduz para:
Então, os autovetores são da forma:
Passo 7
Como temos um autovalor repetido com apenas um autovetor independente, precisamos encontrar uma solução generalizada. A solução geral do sistema é dada por:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.