Determine se a série é convergente ou divergente.
sumn=1^infty 14 n^2+1

Passo 1

A série dada é sumn=1^infty14n^2+1. O conteúdo envolve séries numéricas e vamos precisar do teste da comparação e do fato de que a série-p sum1/n^p converge se e somente se p>1.

Passo 2

Uma séries-p é da forma sumn=1^infty1n^p. Sabemos que quando p>1 ela converge (por exemplo, p=2 converge) e quando p<=1 ela diverge. Esse é um resultado clássico de séries.

Passo 3

Para usar o teste da comparação, observamos que para todo n>=1 vale
4n^2+1>4n^2
o que implica
14n^2+1<14n^2=14cdot1n^2
Como sumn=1^infty1n^2 é convergente (série-p com p=2>1), então sumn=1^infty14cdot1n^2 também converge (basta fatorar 1/4). Pelo teste da comparação direta, nossa série original converge também.

Passo 4

Alternativamente, podemos usar o teste da comparação-limite (limit comparison). Considere an=1/(4n^2+1) e bn=1/n^2. Então
limntoinftyanbn=limntoinftyn^24n^2+1=14,
que é um número finito e não nulo. Como sum bn=sum1/n^2 converge, segue que sum an também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty14n^2+1 é convergente.

Exercícios relacionados