Determine se a série é convergente ou divergente.
Passo 1
A série dada é
. O conteúdo envolve séries numéricas e vamos precisar do teste da comparação e do fato de que a série-p
converge se e somente se
.
Passo 2
Uma séries-p é da forma
. Sabemos que quando
ela converge (por exemplo,
converge) e quando
ela diverge. Esse é um resultado clássico de séries.
Passo 3
Para usar o teste da comparação, observamos que para todo
vale
o que implica
Como
é convergente (série-p com
), então
também converge (basta fatorar
). Pelo teste da comparação direta, nossa série original converge também.
Passo 4
Alternativamente, podemos usar o teste da comparação-limite (limit comparison). Considere
e
. Então
que é um número finito e não nulo. Como
converge, segue que
também converge.
Resposta
A série
é convergente.