Um copo de água a uma temperatura de 95^circ C foi colocado numa sala com uma temperatura constante de 21^circ C. Após 1 minuto, a temperatura deste copo de água baixou em 10^circ C. Supondo que a lei de resfriamento de Newton se aplica (a taxa de variação da temperatura T de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura T do objeto e a temperatura T0 do meio ambiente) responda:
Quantos minutos levarão para a água atingir uma temperatura de 51^circ C ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de resfriamento usando a Lei de Resfriamento de Newton. Basicamente, essa lei diz que a velocidade com que um objeto esfria depende da diferença de temperatura entre ele e o ambiente. No nosso caso, temos um copo de água que começa a 95°C em uma sala a 21°C. Após 1 minuto, a temperatura cai 10°C, chegando a 85°C. Queremos saber quanto tempo vai demorar para a água chegar a 51°C. Para resolver isso, vamos usar equações diferenciais e um pouco de álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da Lei de Resfriamento de Newton, que pode ser expressa pela equação:
dTdt = -k (T - T0)
Aqui, é a temperatura do objeto (água), é a temperatura do ambiente (21°C), e é a constante de resfriamento que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos resolver a equação diferencial. Podemos reescrever a equação como:
dTT - T0 = -k , dt
Integrando ambos os lados, temos:
ln |T - T0| = -kt + C
Onde T - T0 = Ce^-kt é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
T(t) = T0 + Ce^-kt
Então, a solução geral é:

Passo 4

Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar 95 = 21 + C e^-k cdot 0 95 = 21 + C C = 95 - 21 C = 74 e T(t) = 21 + 74 e^-kt . No tempo , a temperatura :
Então, a equação fica:

Passo 5

Sabemos que após 1 minuto ( 85 = 21 + 74 e^-k cdot 1 85 - 21 = 74 e^-k 64 = 74 e^-k 6474 = e^-k ln(6474) = -k k = -ln(6474) ), a temperatura cai para 85°C:
k approx -ln(0.8649) approx 0.146
Calculando :

Passo 6

Agora que temos 51 = 21 + 74 e^-0.146 t 51 - 21 = 74 e^-0.146 t 30 = 74 e^-0.146 t 3074 = e^-0.146 t ln(3074) = -0.146 t t = -ln(3074)0.146 , podemos usar a equação para encontrar o tempo t approx -ln(0.4054)0.146 t approx 0.9060.146 t approx 6.2 minutos quando :
Calculando :

Resposta

Serão necessários aproximadamente 6,2 minutos para a água atingir uma temperatura de 51°C.

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