Um copo de água a uma temperatura de
foi colocado numa sala com uma temperatura constante de
. Após 1 minuto, a temperatura deste copo de água baixou em
. Supondo que a lei de resfriamento de Newton se aplica (a taxa de variação da temperatura
de um objeto é proporcional à diferença entre a temperatura T do objeto e a temperatura
do meio ambiente) responda:
Quantos minutos levarão para a água atingir uma temperatura de
?
Quantos minutos levarão para a água atingir uma temperatura de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de resfriamento usando a Lei de Resfriamento de Newton. Basicamente, essa lei diz que a velocidade com que um objeto esfria depende da diferença de temperatura entre ele e o ambiente. No nosso caso, temos um copo de água que começa a 95°C em uma sala a 21°C. Após 1 minuto, a temperatura cai 10°C, chegando a 85°C. Queremos saber quanto tempo vai demorar para a água chegar a 51°C. Para resolver isso, vamos usar equações diferenciais e um pouco de álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da Lei de Resfriamento de Newton, que pode ser expressa pela equação:
Aqui,
é a temperatura do objeto (água),
é a temperatura do ambiente (21°C), e
é a constante de resfriamento que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos resolver a equação diferencial. Podemos reescrever a equação como:
Integrando ambos os lados, temos:
Onde
é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Então, a solução geral é:
Passo 4
Agora, vamos usar as condições iniciais para encontrar
e
. No tempo
, a temperatura
:
Então, a equação fica:
Passo 5
Sabemos que após 1 minuto (
), a temperatura cai para 85°C:
Calculando
:
Passo 6
Agora que temos
, podemos usar a equação para encontrar o tempo
quando
:
Calculando
:
Resposta
Serão necessários aproximadamente 6,2 minutos para a água atingir uma temperatura de 51°C.