BÔNUS (2,0) Seja g: R^2 R uma função diferenciável em (0,0), com
g(0,0)=4, partial gpartial x(0,0)=2 e partial gpartial y(0,0)=-3
Calcule lim t 0 g(t, t)+t^2-4t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função diferenciável lim t 0 g(t, t)+t^2-4t no ponto com algumas informações sobre ela. Nosso objetivo é calcular o limite:
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais e limites. Vamos precisar entender como a função se comporta perto do ponto utilizando as derivadas parciais dadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se uma função é diferenciável em um ponto, ela pode ser aproximada por uma expressão linear perto desse ponto. No caso, como g(t, t) approx g(0,0) + partial gpartial x(0,0) cdot t + partial gpartial y(0,0) cdot t é diferenciável em , podemos escrever:
Aqui, , e .

Passo 3

Substituindo esses valores na expressão de g(t, t) approx 4 + 2t - 3t = 4 - t , temos:
g(t, t) + t^2 - 4 approx (4 - t) + t^2 - 4 = -t + t^2
Então, podemos reescrever o numerador da nossa expressão original:

Passo 4

Agora, substituímos essa aproximação na expressão do limite:
lim t 0 -t + t^2t
Podemos simplificar dividindo cada termo do numerador por -tt + t^2t = -1 + t :

Passo 5

Finalmente, calculamos o limite quando lim t 0 (-1 + t) = -1 + 0 = -1 se aproxima de 0:

Resposta

O limite é .

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