BÔNUS (2,0) Seja
uma função diferenciável em
, com
Calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função diferenciável
no ponto
com algumas informações sobre ela. Nosso objetivo é calcular o limite:
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas parciais e limites. Vamos precisar entender como a função se comporta perto do ponto
utilizando as derivadas parciais dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se uma função é diferenciável em um ponto, ela pode ser aproximada por uma expressão linear perto desse ponto. No caso, como
é diferenciável em
, podemos escrever:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Substituindo esses valores na expressão de
, temos:
Então, podemos reescrever o numerador da nossa expressão original:
Passo 4
Agora, substituímos essa aproximação na expressão do limite:
Podemos simplificar dividindo cada termo do numerador por
:
Passo 5
Finalmente, calculamos o limite quando
se aproxima de 0:
Resposta
O limite é
.