(3,0) Obtenha partial zpartial x e partial zpartial y, para z(x, y) dada implicitamente pela equação
ln (x y+z)+z e^x=z^4-x e^y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as derivadas parciais de ln (x y + z) + z e^x = z^4 - x e^y em relação a e . A gente está lidando com uma função que está definida de forma implícita pela equação:
Para resolver isso, vamos precisar usar derivação implícita, já que está misturado com e .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar ddx [ ln (x y + z) + z e^x ] = 1x y + z cdot (y + partial zpartial x) + e^x cdot partial zpartial x + z e^x . Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a ddx [ z^4 - x e^y ] = 4 z^3 cdot partial zpartial x - e^y , lembrando que é uma constante e é uma função de e .
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:

Passo 3

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
y + partial zpartial xx y + z + e^x cdot partial zpartial x + z e^x = 4 z^3 cdot partial zpartial x - e^y
Vamos isolar ( 1x y + z + e^x ) cdot partial zpartial x = 4 z^3 cdot partial zpartial x - e^y - yx y + z - z e^x :
( 1x y + z + e^x - 4 z^3 ) cdot partial zpartial x = - e^y - yx y + z - z e^x
Rearranjando:

Passo 4

Finalmente, isolamos partial zpartial x = - e^y - yx y + z - z e^x 1x y + z + e^x - 4 z^3 :

Passo 5

Agora, vamos encontrar ddy [ ln (x y + z) + z e^x ] = x + partial zpartial yx y + z + e^x cdot partial zpartial y . Fazemos o mesmo processo, derivando ambos os lados da equação em relação a ddy [ z^4 - x e^y ] = 4 z^3 cdot partial zpartial y - x e^y .
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado direito:

Passo 6

Igualando as derivadas:
x + partial zpartial yx y + z + e^x cdot partial zpartial y = 4 z^3 cdot partial zpartial y - x e^y
Isolando ( 1x y + z + e^x - 4 z^3 ) cdot partial zpartial y = - x e^y - xx y + z :

Resposta

As derivadas parciais de partial zpartial x = - e^y - yx y + z - z e^x 1x y + z + e^x - 4 z^3 são:
partial zpartial y = - x e^y - xx y + z 1x y + z + e^x - 4 z^3
e

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