Considere a função , definida por
c) f é diferenciável em ? Justifique!
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por:
O que a gente precisa fazer aqui é descobrir se essa função é diferenciável no ponto . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e verificar algumas condições nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função quando . Olha só:
Podemos fatorar o numerador:
Então a fração fica:
Portanto, para , a função simplifica para .
Passo 3
Agora, vamos analisar a função no caso em que . Nesse caso, a função é definida por:
Então, no ponto , temos:
Passo 4
Para verificar se a função é diferenciável em , precisamos primeiro garantir que ela seja contínua nesse ponto. A continuidade é uma condição necessária para a diferenciabilidade.
Vamos ver o limite de quando se aproxima de . Sabemos que para , , então:
E, quando , , então:
Como ambos os limites são iguais a , a função é contínua em .
Passo 5
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em . As derivadas parciais nos dizem como a função varia quando mudamos ou individualmente.
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :
Passo 6
Com as derivadas parciais calculadas, podemos formar a aproximação linear da função em :
Para que seja diferenciável em , o limite da diferença entre e deve ser 0 quando se aproxima de :
Vamos calcular essa diferença:
Então:
No entanto, para o limite ser 0, precisamos que essa expressão tiça para 0, o que não acontece aqui, já que ela pode ser igual a 1.
Resposta
Não, a função não é diferenciável em , pois o limite necessário para a diferenciabilidade não é satisfeito.