Considere a função f: R^2 -> R, definida por f(x, y) = { (x^2 - x*y) / (x - y) , se x ≠ y; -y , se x = y }
c) (1, 0) f é diferenciável em (0,0) ? Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função definida por:
O que a gente precisa fazer aqui é descobrir se essa função é diferenciável no ponto . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e verificar algumas condições nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da função quando . Olha só:
Podemos fatorar o numerador:
Então a fração fica:
Portanto, para , a função simplifica para .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função no caso em que . Nesse caso, a função é definida por:
Então, no ponto , temos:

Passo 4

Para verificar se a função é diferenciável em , precisamos primeiro garantir que ela seja contínua nesse ponto. A continuidade é uma condição necessária para a diferenciabilidade.
Vamos ver o limite de quando se aproxima de . Sabemos que para , , então:
E, quando , , então:
Como ambos os limites são iguais a , a função é contínua em .

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em . As derivadas parciais nos dizem como a função varia quando mudamos ou individualmente.
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 6

Com as derivadas parciais calculadas, podemos formar a aproximação linear da função em :
Para que seja diferenciável em , o limite da diferença entre e deve ser 0 quando se aproxima de :
Vamos calcular essa diferença:
Então:
No entanto, para o limite ser 0, precisamos que essa expressão tiça para 0, o que não acontece aqui, já que ela pode ser igual a 1.

Resposta

Não, a função não é diferenciável em , pois o limite necessário para a diferenciabilidade não é satisfeito.

Exercícios relacionados