(3y^2 - t^2) / y^5 * dy/dt + t / (2y^4) = 0, y(1) = 1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem com uma condição inicial . Para resolver isso, vamos precisar identificar o tipo da equação e aplicar a técnica adequada. Parece que essa equação pode ser reorganizada para facilitar a solução, possivelmente usando um fator integrante ou outra técnica de solução de EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dada para deixá-la em uma forma mais manejável. Vamos reescrever a equação:
Podemos multiplicar ambos os lados da equação por para eliminar os denominadores:
Simplificando:

Passo 3

Agora, vamos isolar o termo que envolve :
E dividir ambos os lados por :

Passo 4

Observamos que a equação pode ser difícil de resolver diretamente. Vamos tentar uma substituição para simplificar. Vamos definir uma nova variável . Então, .
Vamos expressar em termos de :

Passo 5

Substituindo na equação original:
Multiplicamos ambos os lados por :
Como , podemos substituir:
Mas precisamos expressar em termos de . Como , temos e .
Substituindo:
Essa expressão ainda é complicada, então vamos tentar outra abordagem.

Passo 6

Vamos voltar à equação após o Passo 3:
Vamos tentar separar as variáveis de e . Para isso, vamos rearranjar a equação:
Podemos reescrever isso como:

Passo 7

Agora, vamos integrar ambos os lados:
Vamos resolver a integral do lado esquerdo em relação a e do lado direito em relação a .

Passo 8

Resolvendo a integral da esquerda:
Integrando termo a termo:
Agora, integrando o lado direito:

Passo 9

Igualando as integrais:
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante .
Substituindo e :

Passo 10

Substituindo de volta na equação:
Podemos simplificar a expressão:

Resposta

A solução da equação diferencial dada com a condição inicial é:
Esta é a expressão implícita que relaciona e . Para encontrar explicitamente em termos de , geralmente é necessário resolver a equação numericamente ou usando métodos mais avançados, já que uma solução analítica explícita pode não ser facilmente obtida.

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