Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial:
Aqui, estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem com uma condição inicial
. Para resolver isso, vamos precisar identificar o tipo da equação e aplicar a técnica adequada. Parece que essa equação pode ser reorganizada para facilitar a solução, possivelmente usando um fator integrante ou outra técnica de solução de EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação dada para deixá-la em uma forma mais manejável. Vamos reescrever a equação:
Podemos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Simplificando:
Passo 3
Agora, vamos isolar o termo que envolve
:
E dividir ambos os lados por
:
Passo 4
Observamos que a equação pode ser difícil de resolver diretamente. Vamos tentar uma substituição para simplificar. Vamos definir uma nova variável
. Então,
.
Vamos expressar
em termos de
:
Passo 5
Substituindo
na equação original:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Como
, podemos substituir:
Mas precisamos expressar
em termos de
. Como
, temos
e
.
Substituindo:
Essa expressão ainda é complicada, então vamos tentar outra abordagem.
Passo 6
Vamos voltar à equação após o Passo 3:
Vamos tentar separar as variáveis de
e
. Para isso, vamos rearranjar a equação:
Podemos reescrever isso como:
Passo 7
Agora, vamos integrar ambos os lados:
Vamos resolver a integral do lado esquerdo em relação a
e do lado direito em relação a
.
Passo 8
Resolvendo a integral da esquerda:
Integrando termo a termo:
Agora, integrando o lado direito:
Passo 9
Igualando as integrais:
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
.
Substituindo
e
:
Passo 10
Substituindo
de volta na equação:
Podemos simplificar a expressão:
Resposta
A solução da equação diferencial dada com a condição inicial
é:
Esta é a expressão implícita que relaciona
e
. Para encontrar
explicitamente em termos de
, geralmente é necessário resolver a equação numericamente ou usando métodos mais avançados, já que uma solução analítica explícita pode não ser facilmente obtida.