BÔNUS - BÔNUS - BÔNUS - BÔNUS - BÔNUS - BÔNUS…
Vale até 1,0 ponto de bônus - exclusivamente na 1a chamada da 2a prova ( 0,25 pt cada questão):
Certa partícula tem velocidade v(x)=ln (a x+b), sendo a e b constantes positivas. Encontre as funções aceleração e deslocamento.

Passo 1

Estamos com a velocidade dada por v(x)=ln(ax+b), onde x é a variável (tempo) e a,b>0. O que precisamos: achar a aceleração como derivada de v(x) e o deslocamento integrando v(x).

Passo 2

A aceleração a(x) é a derivada de v(x) em relação a x. Usando regra da cadeia, temos:
a(x)=dvdx=ddxl(ln(ax+b)r)=1ax+bcdotddx(ax+b)=aax+b

Passo 3

Para o deslocamento s(x), precisamos calcular a integral
s(x)=integral v(x),dx=integral ln(ax+b),dx

Passo 4

Usamos integração por partes em que escolhemos
u=ln(ax+b), dv=dx
Então
du=aax+b,dx, v=x
Aplicando integral u,dv=u,v-integral v,du:
s(x)=xln(ax+b)-integral xcdotaax+b,dx+C

Passo 5

Para integral !x,aax+b,dx fazemos a troca u=ax+b, logo du=a,dx e x=(u-b)/a. Assim:
integral xaax+b,dx=1aintegrall(1-bur),du=1al(u-bln|u|r)+C
Voltando a x:
=1al(ax+b - bln(ax+b)r)+C

Passo 6

Substituindo de volta em s(x) e juntando termos, obtemos
s(x)=xln(ax+b)-ax+ba+baln(ax+b)+C
ou ainda
s(x)=l(x+tfracbar)ln(ax+b)-ax+ba+C

Resposta

Aceleração: a(x)=aax+b
Deslocamento (antiderivada de v(x)): s(x)=l(x+bar)ln(ax+b)-ax+ba+C

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