Resolva as EDOs:
y^prime+y^2 sen t=3 t^2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que você me passou:
y^prime + y^2 sin t = 3 t^2 y^2
Aqui, estamos lidando com uma EDO de primeira ordem que envolve y e suas derivadas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos organizar a equação para isolar y'. Subtraímos y^2 sin t de ambos os lados:
y^prime = 3 t^2 y^2 - y^2 sin t
Agora, fatoramos y^2 no lado direito:
y^prime = y^2 (3 t^2 - sin t)

Passo 3

Essa forma da equação nos permite usar o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação para que todos os termos com y fiquem de um lado e os termos com t do outro.
Dividimos ambos os lados por y^2:
y^primey^2 = 3 t^2 - sin t
Lembrando que y^prime = dydt, substituímos:
1y^2 dydt = 3 t^2 - sin t

Passo 4

Agora, multiplicamos ambos os lados por dt para separar as variáveis:
1y^2 dy = (3 t^2 - sin t) dt
Pronto! Agora temos uma expressão onde as variáveis estão separadas: tudo com y está de um lado e tudo com t do outro.

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados para resolver a equação.
Do lado esquerdo, temos:
integral 1y^2 dy
E do lado direito:
integral (3 t^2 - sin t) dt

Passo 6

Vamos calcular as integrais:
Para o lado esquerdo:
integral 1y^2 dy = -1y + C1
Para o lado direito:
integral 3 t^2 dt = t^3 + C2
e
integral -sin t , dt = cos t + C3
Juntando tudo:
-1y = t^3 + cos t + C
onde C representa a constante de integração geral.

Passo 7

Agora, vamos resolver para y:
Primeiro, multiplicamos ambos os lados por -1:
1y = -t^3 - cos t + C
Podemos reescrever C como uma nova constante, digamos C':
1y = C' - t^3 - cos t
Agora, invertemos os dois lados para resolver para y:
y = 1C' - t^3 - cos t

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(t) = 1C - t^3 - cos t
onde C é uma constante de integração.

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