Resolva as EDOs:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária (EDO) que você me passou:
Aqui, estamos lidando com uma EDO de primeira ordem que envolve
e suas derivadas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos organizar a equação para isolar
. Subtraímos
de ambos os lados:
Agora, fatoramos
no lado direito:
Passo 3
Essa forma da equação nos permite usar o método de separação de variáveis. Isso significa que vamos reorganizar a equação para que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro.
Dividimos ambos os lados por
:
Lembrando que
, substituímos:
Passo 4
Agora, multiplicamos ambos os lados por
para separar as variáveis:
Pronto! Agora temos uma expressão onde as variáveis estão separadas: tudo com
está de um lado e tudo com
do outro.
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados para resolver a equação.
Do lado esquerdo, temos:
E do lado direito:
Passo 6
Vamos calcular as integrais:
Para o lado esquerdo:
Para o lado direito:
e
Juntando tudo:
onde
representa a constante de integração geral.
Passo 7
Agora, vamos resolver para
:
Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Podemos reescrever
como uma nova constante, digamos
:
Agora, invertemos os dois lados para resolver para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante de integração.