Encontre a solução de cada PVI:
cy^prime prime+y=t^2 t y(0)=0, y^prime(0)=0

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) com a equação diferencial:
y'' + y = t^3
junto com as condições iniciais:
y(0) = 0 e y'(0) = 0
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, usaremos as condições iniciais para determinar as constantes da solução.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
y'' + y = 0
A solução dessa equação é baseada nas raízes do polinômio característico. Vamos encontrar essas raízes.
O polinômio característico é:
r^2 + 1 = 0
Resolvendo para $ r $:
r
Como as raízes são complexas ($ \pm i $), a solução geral da equação homogênea é:
r^2 = -1 r = pm i
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que iremos determinar mais tarde.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ y_{p}(t) $) para a equação completa:
yp(t)
Como o lado direito da equação é um polinômio de grau 3, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de grau 3:
y'' + y = t^3
Vamos calcular as derivadas necessárias:
yp(t) = At^3 + Bt^2 + Ct + D
Substituindo $ y_{p} $ e suas derivadas na equação diferencial:
yp'(t) = 3At^2 + 2Bt + C yp''(t) = 6At + 2B
Essa expressão deve ser igual a $ t^{3} $, então igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
yp
Resolvendo as equações:
yp'' + yp = (6At + 2B) + (At^3 + Bt^2 + Ct + D) = At^3 + Bt^2 + (6A + C)t + (2B + D)
Portanto, a solução particular é:
t^3

Passo 4

Agora, combinamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
y(t) = yh(t) + yp(t) = C1 cos(t) + C2 sin(t) + t^3 - 6t
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de $ C_{1} $ e $ C_{2} $.
Primeiro, aplicamos $ y(0) = 0 $:
C1
Então, $ C_{1} = 0 $.
Agora, derivamos $ y(t) $ para encontrar $ y’(t) $:
C2
Aplicamos a condição $ y’(0) = 0 $:
y(0) = 0

Resposta

Substituindo os valores de $ C_{1} $ e $ C_{2} $ na solução geral, temos a solução do PVI:
C1

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