Encontre a solução de cada PVI:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) com a equação diferencial:
junto com as condições iniciais:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa. Depois, usaremos as condições iniciais para determinar as constantes da solução.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
A solução dessa equação é baseada nas raízes do polinômio característico. Vamos encontrar essas raízes.
O polinômio característico é:
Resolvendo para $ r $:
Como as raízes são complexas ($ \pm i $), a solução geral da equação homogênea é:
onde $ C_{1} $ e $ C_{2} $ são constantes que iremos determinar mais tarde.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular ($ y_{p}(t) $) para a equação completa:
Como o lado direito da equação é um polinômio de grau 3, vamos supor que a solução particular também seja um polinômio de grau 3:
Vamos calcular as derivadas necessárias:
Substituindo $ y_{p} $ e suas derivadas na equação diferencial:
Essa expressão deve ser igual a $ t^{3} $, então igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Resolvendo as equações:
Portanto, a solução particular é:
Passo 4
Agora, combinamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação diferencial:
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar os valores de $ C_{1} $ e $ C_{2} $.
Primeiro, aplicamos $ y(0) = 0 $:
Então, $ C_{1} = 0 $.
Agora, derivamos $ y(t) $ para encontrar $ y’(t) $:
Aplicamos a condição $ y’(0) = 0 $:
Resposta
Substituindo os valores de $ C_{1} $ e $ C_{2} $ na solução geral, temos a solução do PVI: