BÔNUS - BÔNUS - BÔNUS - BÔNUS - BÔNUS - BÔNUS…
Vale até 1,0 ponto de bônus - exclusivamente na 1a chamada da 2a prova ( 0,25 pt cada questão):
Com suas palavras, todavia, mantendo o rigor científico, indicar como foi demonstrada a fórmula para cálculo do volume de uma região, com rotação em torno do eixo Y, mantendo x como variável independente.

Passo 1

Na primeira etapa, resumimos o que a questão pede e o conteúdo envolvido: derivar a fórmula do volume ao girar uma região em torno do eixo y mantendo x como variável independente, usando o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

No método das cascas cilíndricas, começamos particionando o intervalo [a,b] no eixo x em n subintervalos de largura De. Em cada subintervalo escolhemos um ponto xi^*.

Passo 3

Em cada ponto xi^*, consideramos o retângulo aproximador de altura f(xi^*) e largura De. Ao girarmos esse retângulo em torno do eixo y, obtemos uma casca cilíndrica de raio xi^*, altura f(xi^*) e espessura De.

Passo 4

Calculamos o volume aproximado de cada casca como produto da área lateral pela espessura: a circunferência é 2pi xi^* e a altura é f(xi^*), então
De

Passo 5

Somando todas as De obtemos uma soma de Riemann:
sumi=1^n 2pi xi^* ; f(xi^*) ; De
Ao tomar o limite ntoinfty e De, essa soma converge para a integral definida.
A expressão integral resultante é justamente a fórmula do volume ao girar a região em torno do eixo y:

Resposta

V = 2pi integrala^b x,f(x),dx

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