BÔNUS - BÔNUS - BÔNUS - BÔNUS - BÔNUS - BÔNUS…
Vale até 1,0 ponto de bônus - exclusivamente na 1a chamada da 2a prova ( 0,25 pt cada questão):
Com suas palavras, todavia, mantendo o rigor científico, indicar como foi demonstrada a fórmula para cálculo do volume de uma região, com rotação em torno do eixo Y, mantendo x como variável independente.
Vale até 1,0 ponto de bônus - exclusivamente na 1a chamada da 2a prova ( 0,25 pt cada questão):
Com suas palavras, todavia, mantendo o rigor científico, indicar como foi demonstrada a fórmula para cálculo do volume de uma região, com rotação em torno do eixo Y, mantendo x como variável independente.
Passo 1
Na primeira etapa, resumimos o que a questão pede e o conteúdo envolvido: derivar a fórmula do volume ao girar uma região em torno do eixo y mantendo x como variável independente, usando o método das cascas cilíndricas.
Passo 2
No método das cascas cilíndricas, começamos particionando o intervalo
no eixo x em n subintervalos de largura
. Em cada subintervalo escolhemos um ponto
.
Passo 3
Em cada ponto
, consideramos o retângulo aproximador de altura
e largura
. Ao girarmos esse retângulo em torno do eixo y, obtemos uma casca cilíndrica de raio
, altura
e espessura
.
Passo 4
Calculamos o volume aproximado de cada casca como produto da área lateral pela espessura: a circunferência é
e a altura é
, então
Passo 5
Somando todas as
obtemos uma soma de Riemann:
Ao tomar o limite
A expressão integral resultante é justamente a fórmula do volume ao girar a região em torno do eixo y: