Um bote de borracha navega ao longo de um rio com velocidade (escalar) constante e igual a
. Considere que as águas do rio em questão viajem à velocidade de
. Escreva a velocidade (segundo notação vetorial) deste bote de borracha quando:
(a) ele navega a favor da correnteza;
(b) ele navega contra a correnteza e;
© ele tenta cruzar o rio mediante uma trajetória perpendicular às margens do mesmo.
(a) ele navega a favor da correnteza;
(b) ele navega contra a correnteza e;
© ele tenta cruzar o rio mediante uma trajetória perpendicular às margens do mesmo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai trabalhar com vetores e velocidades. O enunciado fala sobre um bote de borracha que navega num rio. A gente precisa entender como a velocidade do bote se comporta em diferentes situações: navegando a favor da correnteza, contra ela e tentando cruzar o rio perpendicularmente. Para isso, vamos precisar saber como somar vetores e entender a direção das velocidades envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa cada situação:
a) Navega a favor da correnteza
Quando o bote vai a favor da correnteza, significa que ele está se movendo na mesma direção que a água do rio. Então, a velocidade total do bote será a soma da velocidade do bote em relação à água e a velocidade da água do rio.
Teoria aplicada:
A velocidade resultante quando dois vetores estão na mesma direção é a soma escalar das velocidades.
A velocidade resultante quando dois vetores estão na mesma direção é a soma escalar das velocidades.
Passo 3
Cálculo para a parte (a):
Velocidade do bote em relação à água: $ \vec{v}_b = 8 , km/h $
Velocidade da correnteza do rio: $ \vec{v}_r = 3 , km/h $
Como estão na mesma direção:
Passo 4
b) Navega contra a correnteza
Agora, quando o bote vai contra a correnteza, ele está se movendo na direção oposta à do rio. Então, a velocidade total do bote será a diferença entre a velocidade do bote em relação à água e a velocidade da água do rio.
Teoria aplicada:
Quando dois vetores estão em direções opostas, a velocidade resultante é a diferença entre as velocidades.
Quando dois vetores estão em direções opostas, a velocidade resultante é a diferença entre as velocidades.
Passo 5
Cálculo para a parte (b):
Velocidade do bote em relação à água: $ \vec{v}_b = 8 , km/h $
Velocidade da correnteza do rio: $ \vec{v}_r = 3 , km/h $
Como estão em direções opostas:
Passo 6
c) Tenta cruzar o rio mediante uma trajetória perpendicular às margens do mesmo
Aqui, o bote tenta ir diretamente para o outro lado do rio, perpendicularmente às margens. A água do rio vai desviar a trajetória do bote, então precisamos usar o conceito de soma vetorial de velocidades.
Teoria aplicada:
Quando os vetores estão em direções perpendiculares, a velocidade resultante é obtida pelo teorema de Pitágoras.
Quando os vetores estão em direções perpendiculares, a velocidade resultante é obtida pelo teorema de Pitágoras.
Passo 7
Cálculo para a parte ©:
Velocidade do bote em relação à água: $ \vec{v}_b = 8 , km/h $ (perpendicular à correnteza)
Velocidade da correnteza do rio: $ \vec{v}_r = 3 , km/h $ (paralela à margem)
Para encontrar a velocidade resultante, usamos:
Resposta
(a) $ \vec{v}_{total} = 11 , km/h $ a favor da correnteza.
(b) $ \vec{v}_{total} = 5 , km/h $ contra a correnteza.
© $ \vec{v}_{total} \approx 8,54 , km/h $ numa direção resultante perpendicular às margens.