Calcule dd x e d^2d x^2 das funções a seguir:
(f) f(x, y)=sen(2 pi x+3 pi y)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Precisamos calcular a primeira derivada ddx e a segunda derivada d^2dx^2 da função f(x, y) = sin(2 pi x + 3 pi y). Para isso, vamos usar as regras de derivação de funções trigonométricas e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de f(x, y) em relação a x. A função é f(x, y) = sin(2 pi x + 3 pi y). Ao derivar uma função seno, usamos a regra da cadeia: a derivada de sin(u) em relação a x é cos(u) cdot dudx, onde u é a função interna.

Passo 3

Identificando u = 2 pi x + 3 pi y, a derivada de u em relação a x é dudx = 2 pi, já que y é considerado constante em relação a x.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
ddx f(x, y) = cos(2 pi x + 3 pi y) cdot 2 pi
Simplificando, temos:
ddx f(x, y) = 2 pi cos(2 pi x + 3 pi y)

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada de f(x, y) em relação a x. Temos:
ddx f(x, y) = 2 pi cos(2 pi x + 3 pi y)
Novamente, aplicamos a regra da cadeia para derivar a função cosseno.

Passo 6

Derivando cos(u) em relação a x, obtemos - sin(u) cdot dudx. Como u = 2 pi x + 3 pi y, a derivada de u em relação a x continua sendo 2 pi.

Passo 7

Aplicando a regra da cadeia para a segunda derivada:
d^2dx^2 f(x, y) = -2 pi sin(2 pi x + 3 pi y) cdot 2 pi
Simplificando:
d^2dx^2 f(x, y) = -4 pi^2 sin(2 pi x + 3 pi y)

Resposta

A primeira derivada de f(x, y) em relação a x é 2 pi cos(2 pi x + 3 pi y) e a segunda derivada é -4 pi^2 sin(2 pi x + 3 pi y).

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