Os botões de uma grande e bela roseira desabrocharam em três dias. No primeiro dia, \frac{2}{5} dos botões se abriram; no segundo dia, \frac{1}{3} do que restou; e, no terceiro dia, os botões restantes. Que fração representa os botões que se abriram em flor no terceiro dia?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • Uma roseira tem todos os botões contados como a totalidade (o “todo”).
  • No primeiro dia, abriu-se \tfrac{2}{5} dos botões.
  • No segundo dia, abriu-se \tfrac{1}{3} do que restou depois do primeiro dia.
  • No terceiro dia, abriram-se os botões restantes (ou seja, tudo o que ainda não tinha aberto).
    O que a questão pede: determinar que fração do total de botões abriu-se no terceiro dia.

Passo 2

Estratégia simples e prática: representar o total de botões por 1 (um todo). Trabalhar com frações desse todo permite achar diretamente a fração que sobra em cada etapa. Isso evita precisar de números absolutos e é exatamente o jeito certo de lidar com problemas de frações assim.

Passo 3

Calcular quanto sobra depois do primeiro dia.
  • Abriu no primeiro dia: \tfrac{2}{5} do total.
  • Portanto, o que restou depois do primeiro dia é
1 - \tfrac{2}{5}.
Fazendo a conta:
1 - \tfrac{2}{5} = \tfrac{5}{5} - \tfrac{2}{5} = \tfrac{3}{5}.
Logo, após o primeiro dia restou \tfrac{3}{5} do total.

Passo 4

Interpretar corretamente a frase “no segundo dia, \tfrac{1}{3} do que restou”: isso significa tomar \tfrac{1}{3} da quantidade \tfrac{3}{5}. Para calcular uma fração de outra fração multiplicamos:
\text{aberto no 2º dia} = \tfrac{1}{3}\times \tfrac{3}{5}.º
Agora simplificar e calcular:
\tfrac{1}{3}\times \tfrac{3}{5} = \tfrac{1\cdot 3}{3\cdot 5} = \tfrac{3}{15} = \tfrac{1}{5}.
Portanto, no segundo dia abriu-se \tfrac{1}{5} do total.

Passo 5

Calcular quanto resta depois do segundo dia. Podemos subtrair o que restava menos o que abriu no segundo dia:
\text{restante após 2º dia} = \tfrac{3}{5} - \tfrac{1}{5} = \tfrac{2}{5}.óº
(Essa é a mesma resposta que daria se multiplicássemos \tfrac{3}{5} por \tfrac{2}{3}, porque depois de abrir \tfrac{1}{3} sobra \tfrac{2}{3} do que havia — \tfrac{3}{5}\times\tfrac{2}{3}=\tfrac{2}{5}.)

Passo 6

O enunciado diz que no terceiro dia abrem-se “os botões restantes”, ou seja, toda a quantidade que ainda estava fechada após o segundo dia. Portanto a fração do total que abriu no terceiro dia é exatamente o restante que acabamos de calcular:
\text{aberto no 3º dia} = \tfrac{2}{5}.º

Passo 7

Para fortalecer a intuição, um exemplo com número inteiro de botões: suponha 60 botões no total.
  • 1º dia: abre \tfrac{2}{5} de 60 60\times\tfrac{2}{5}=24. Restam 36.
  • 2º dia: abre \tfrac{1}{3} do que resta → 36\times\tfrac{1}{3}=12. Restam 24.
  • 3º dia: abre os 24 restantes → 24/60=\tfrac{2}{5} do total.
    Esse exemplo confirma o resultado obtido com frações abstratas.

Resposta

\frac{2}{5}

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