Calcule a integral dupla.
\iint_{D} 2 x y d A, D é a região triangular com vértices (0,0),(1,2) e (2,1)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Está dada a integral dupla \iint_{D} 2 x y \, dA.
  • A região D é o triângulo com vértices (0,0), (1,2) e (2,1).
  • O pedido é calcular o valor numérico dessa integral dupla sobre a região D.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os vértices do triângulo são (0,0), (1,2) e (2,1).
  • A função a integrar é f(x,y)=2xy.

Passo 2

Encontrar as retas que delimitam o triângulo (cada aresta passa por dois vértices). Vou obter equações no formato y= alguma coisa.
  1. Reta entre (0,0) e (1,2). A inclinação é
m=\frac{2-0}{1-0}=2.
Como passa por (0,0), a equação é
y=2x.
  1. Reta entre (0,0) e (2,1). A inclinação é
m=\frac{1-0}{2-0}=\frac{1}{2}.
Como passa por (0,0), a equação é
y=\frac{1}{2}x.
  1. Reta entre (1,2) e (2,1). A inclinação é
m=\frac{1-2}{2-1}=-1.
Usando a forma ponto-inclinação com o ponto (1,2):
y-2=-1(x-1)\quad\Rightarrow\quad y=-x+3.
Resumo das três arestas (peguei estas equações a partir dos pares de vértices do enunciado):
y=2x,\qquad y=\frac{1}{2}x,\qquad y=-x+3.

Passo 3

Descrever a região D para integrar por retângulos verticais (ou seja, integrar primeiro em y e depois em x).
  • Interseções importantes (calculei resolvendo pares de equações):
    • Interseção de y=2x com y=-x+3: 2x=-x+3\Rightarrow x=1. Então esses dois se encontram em x=1 (vértice (1,2)).
    • Interseção de y=\tfrac{1}{2}x com y=-x+3: \tfrac{1}{2}x=-x+3\Rightarrow \tfrac{3}{2}x=3\Rightarrow x=2. Isso é o vértice (2,1).
    • As duas retas que emanam da origem têm interseção em x=0 (vértice (0,0)).
Logo, ao variar x de 0 até 2, a banda vertical que atravessa o triângulo tem dois tipos:
  • Para 0\le x\le 1: o limite inferior em y é y=\tfrac{1}{2}x e o limite superior é y=2x.
  • Para 1\le x\le 2: o limite inferior em y é y=\tfrac{1}{2}x e o limite superior é y=-x+3.
Portanto é natural escrever a integral como soma de duas integrais iteradas em x:
\iint_{D}2xy\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=\frac{1}{2}x}^{y=2x}2xy\,dy\right)dx + \int_{x=1}^{2}\left(\int_{y=\frac{1}{2}x}^{y=-x+3}2xy\,dy\right)dx.
(Explicação rápida do porquê: uma integral dupla sobre região tipo “vertical” é \displaystyle\int_{a}^{b}\int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx, onde g_1,g_2 são as curvas inferior e superior em função de x.)

Passo 4

Calcular as integrais internas em y. A primitiva em y de 2x y (tratando x como constante) é
\int 2x y \, dy = 2x\cdot\frac{y^{2}}{2}=x y^{2}.
Então as integrais internas avaliam para x y^{2} nos limites apropriados.
  1. Para 0\le x\le1:
\int_{\frac{1}{2}x}^{2x}2x y\,dy = x\big[(2x)^{2}-\big(\tfrac{1}{2}x\big)^{2}\big].
Calculemos a expressão dentro dos colchetes:
(2x)^{2}=4x^{2},\qquad \big(\tfrac{1}{2}x\big)^{2}=\tfrac{1}{4}x^{2}.
Portanto
x\big[4x^{2}-\tfrac{1}{4}x^{2}\big]=x\cdot\big(\tfrac{15}{4}x^{2}\big)=\tfrac{15}{4}x^{3}.
  1. Para 1\le x\le2:
\int_{\frac{1}{2}x}^{-x+3}2x y\,dy = x\big[(-x+3)^{2}-\big(\tfrac{1}{2}x\big)^{2}\big].
Calculemos as parcelas:
(-x+3)^{2}=x^{2}-6x+9,\qquad \big(\tfrac{1}{2}x\big)^{2}=\tfrac{1}{4}x^{2}.
A diferença é
x^{2}-6x+9-\tfrac{1}{4}x^{2}=\tfrac{3}{4}x^{2}-6x+9.
Multiplicando por x obtemos o integrando em x:
x\big(\tfrac{3}{4}x^{2}-6x+9\big)=\tfrac{3}{4}x^{3}-6x^{2}+9x.

Passo 5

Agora integramos em x cada parte:
  1. Primeira parte:
\int_{0}^{1}\tfrac{15}{4}x^{3}\,dx=\tfrac{15}{4}\cdot\frac{x^{4}}{4}\Big|_{0}^{1}=\tfrac{15}{4}\cdot\frac{1}{4}=\tfrac{15}{16}.
  1. Segunda parte:
\int_{1}^{2}\left(\tfrac{3}{4}x^{3}-6x^{2}+9x\right)\,dx.
Calcule as primitivas termo a termo:
\int \tfrac{3}{4}x^{3}\,dx=\tfrac{3}{4}\cdot\frac{x^{4}}{4}=\tfrac{3}{16}x^{4},
\int -6x^{2}\,dx=-6\cdot\frac{x^{3}}{3}=-2x^{3},
\int 9x\,dx=9\cdot\frac{x^{2}}{2}=\tfrac{9}{2}x^{2}.
Somando e avaliando de 1 a 2:
\left(\tfrac{3}{16}x^{4}-2x^{3}+\tfrac{9}{2}x^{2}\right)\Big|_{1}^{2}.
Avaliação em x=2:
\tfrac{3}{16}\cdot16 -2\cdot8 +\tfrac{9}{2}\cdot4 =3 -16 +18 =5.
Avaliação em x=1:
\tfrac{3}{16}\cdot1 -2\cdot1 +\tfrac{9}{2}\cdot1 =\tfrac{3}{16}-2+\tfrac{9}{2}=\tfrac{3}{16}+\tfrac{5}{2}=\tfrac{3}{16}+\tfrac{40}{16}=\tfrac{43}{16}.
Diferença:
5-\tfrac{43}{16}=\tfrac{80}{16}-\tfrac{43}{16}=\tfrac{37}{16}.

Passo 6

Somar as duas partes para obter a integral total:
\iint_{D}2xy\,dA=\tfrac{15}{16}+\tfrac{37}{16}=\tfrac{52}{16}=\tfrac{13}{4}.
(Respirei fundo junto com você — deu um valor racional bonito \tfrac{13}{4}.)

Resposta

\dfrac{13}{4}

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