Calcule a integral dupla.
é a região triangular com vértices
e
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Está dada a integral dupla
. - A região
é o triângulo com vértices , e . - O pedido é calcular o valor numérico dessa integral dupla sobre a região
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os vértices do triângulo são
, e . - A função a integrar é
.
Passo 2
Encontrar as retas que delimitam o triângulo (cada aresta passa por dois vértices). Vou obter equações no formato
alguma coisa.
- Reta entre
e . A inclinação é
Como passa por
, a equação é
- Reta entre
e . A inclinação é
Como passa por
, a equação é
- Reta entre
e . A inclinação é
Usando a forma ponto-inclinação com o ponto
:
Resumo das três arestas (peguei estas equações a partir dos pares de vértices do enunciado):
Passo 3
Descrever a região
para integrar por retângulos verticais (ou seja, integrar primeiro em
e depois em
).
- Interseções importantes (calculei resolvendo pares de equações):
- Interseção de
com : . Então esses dois se encontram em (vértice ). - Interseção de
com : . Isso é o vértice . - As duas retas que emanam da origem têm interseção em
(vértice ).
- Interseção de
Logo, ao variar
de
até
, a banda vertical que atravessa o triângulo tem dois tipos:
- Para
: o limite inferior em é e o limite superior é . - Para
: o limite inferior em é e o limite superior é .
Portanto é natural escrever a integral como soma de duas integrais iteradas em
:
(Explicação rápida do porquê: uma integral dupla sobre região tipo “vertical” é
, onde
são as curvas inferior e superior em função de
.)
Passo 4
Calcular as integrais internas em
. A primitiva em
de
(tratando
como constante) é
Então as integrais internas avaliam para
nos limites apropriados.
- Para
:
Calculemos a expressão dentro dos colchetes:
Portanto
- Para
:
Calculemos as parcelas:
A diferença é
Multiplicando por
obtemos o integrando em
:
Passo 5
Agora integramos em
cada parte:
- Primeira parte:
- Segunda parte:
Calcule as primitivas termo a termo:
Somando e avaliando de
a
:
Avaliação em
:
Avaliação em
:
Diferença:
Passo 6
Somar as duas partes para obter a integral total:
(Respirei fundo junto com você — deu um valor racional bonito
.)